1、六安一中 2020 届高三年级自测试卷理科数学（六）命题人：时间：120 分钟满分：150 分一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A = x | -1 x 3，集合 B = x | x(2x - 7) 0，则 A I (CR B) = （）Ax | -1 x a 0 ，则（）D（4,1）A 1- a 1- b 1 aB 2 1 b 2 C lg a lg bD 1 0, b 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,直线l 是双曲线C 过第一、三象限的渐近线，记直线l 的倾斜角为a，直线l ： y = tan a
2、x, F M l ，垂足为 M ，若 M 在 22双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60 分.17（本小题满分 12 分）在DABC 中，角 A, B,C 的对边分别为a,b, c ，满足bc cos C + c2 cos B = 2ab.（1）求 c 的值；b6（2）若a =，求DABC 面积的最大值.18（本小题满分 12 分）如图，多面体 ABCDE 中，平面 AEC 平面 ABC , AC BC, AE C
3、D ,四边形 BCDE 为平行四边形.（1）证明： AE EC;2（2）若 AE = EC = CB =,求二面角 D - AC - E 的余弦值.19（本小题满分 12 分）2y2x2已椭圆 E : a2 + b2 = 1(a b 0) 的离心率为（1）求椭圆 E 的方程；，且过点C(1, 0).2（2）若过点 (- 1 , 0) 的任意直线与椭圆 E 相交于 A, B 两点，线段 AB 的中点为 M ,求证：恒有3AB = 2 CM .20（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = ex - 2x - cos x.（1）当 x (-, 0) 时，求证 f (x) 0;（2）若函数 g
4、(x) = f (x) + ln(x + 1), 求证： g (x) 存在极小值.21（本小题满分 12 分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在 A 市与 B 市之间建一条直达公路，中间设有至少 8 个的偶数个十字路口，记为2m ，现规划在每个路口处种植杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为 1 2（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：是否有99.9% 的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）若从所有的路口中随机抽取 4 个路口，恰有 X 个路口种植杨树，求 X 的分布列以及数学期望；（3）在所有的路口种植完成后
5、，选取 3 个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为 M ，求证3M m(m -1)(m - 2) (二)选考题：共 10 分请考生在 22,23 两题选一题作答.22.（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 的参数方程为 x = 2 cosa （a为参数）以坐标 y =2 sina原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程)为 2rsin(q+ p = 14（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；PAPB（2）设点 P 的直角坐标为（1,0），若直线l 与曲线C 分别相交
6、于 A, B 两点，求 1 + 1的值.23.（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 f (x) = x + x + 1 （）求不等式 f (x) 2的解集；（2）若a,b, c R+ ，函数 f (x)的最小值为m ，若a + b + c = m ，求证ab + bc + ac 1 .3六安一中 2020 届高三年级自测试卷理科数学（六）参考答案1.选 A,因为 B : 0 x 7 , C B : x 7 , 所以 A I (C B) = x | -1 x 02R2R2.选 D，因为 a, b 满足(a - 3)2 + b2 = 4rrrrr 2- rr rr rr 2
7、3. 选 C，因为 y = lg x 在(0, +) 单调增4. 选 C，因为(q - m)g(q - n) = q(m + n)gq + mgn = 0, q= 95.选 Asin(-x)(-x)2 cos(-x)sin xx2 cos x6.选 A， f (-x) =-x+=+20x= f (x) 偶函数，故关于 y 轴对称，20p2p2排除 C， f (p) = - 0 ，排除 D2057.选 D， s = 0, n = 2; s = 2, n = 3; s = -1, n = 4; s = 3, n = 5 退出循环3 38. 选 B，先分组再排列，若按照3 :1:1进行分配，则有C1
8、 A3 = 18;若按照 2 : 2 :1进行分配，则有3 3C 2 A3 = 18 ,共有36种9. 选 B，设内切球O 的半径 r ，正四面体的高为 h ，利用等体积法得 4 1 Sr = 1 Sh ，所以4r= h ，113131又 h =6 a ，则 r =6 a ， O 的半径 r = 1 a ，所以 r : r = 1:a2 - ( 3 a)23631122221210. 选 A,2x + 2 y + 4 = 2(x +1) + 2( y +1) = 2+ 2y +1，k =y +1的几何意义为平面区域内的点到x +1x +1x +1x +1定点 D(-1, -1) 的斜率，1 k
9、 5, 4 2k + 2 1211. 选 A, 记 M , N 两 点 的 坐 标 分 别 为 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 )， 由 抛 物 线 焦 点 的 性 质 可 得2p2y y1x x = - p = -4, y y = 1 ，则 k1k2 = 1 2 = - ，故对，设 A, B 两点的坐标分别为1 21 24x1x24A(2 cosa, sina), B(2 cos b, sin b) ，由 k k1sinasin b= - 可得：= - 11 244 cosacos b4( k则有cosacos b+ sinasin b= 0 ，即cos(a- b) = 0,
10、 a- b = kp+ p Z)2A , B 是 A, B 在 x 轴投影SDABO = SBB A A - SVOAA - SVOBB = 1 (sina+ sin b)(2 cosa- 2 cos b) - 1 (- sina)(-2 cosa) - 1 (- sin b)2 cos b ，故正确2221 2 cosacos b- 2 sinasin b = sin(a- b) =1 2而 OA 2 + OB 2 = 4(cos2 a+ cos2 b) + (sin2 a+ sin2 b) = 4 + 1 = 5 ，故正确x1x2 xA xB44 cosacos b2sin 2a最后，l=
11、 2 ，故正确12. 选 A，由题意可知方程 f (x) = g(x) 在(0,1) U (1, +) 上恰有三个不相等的实根，即+4ax2ln x - 2ax =- 2x 在(0,1) U (1,) 上恰有三个不相等的实根，ln x又Q x 0，所以两边同时除以 x 可得 ln x - 2a = 4ax - 2 ，ln xxln x4a令t(x) =, x (0,1) U (1, +) ，则上述方程转化为t(x) - 2a -+ 2 = 0 ，xt(x)即t(x) + 2t(x) - 2a = 0,t(x) = -2 或t(x) = 2a ，Qt (x) = 1- ln x , 当x (0,
12、1) U (1, e)时，t (x) 0, 当x (e, +) 时，t (x) 0x2t(x) 在(0,1), (1, e) 上单调递增，且 x 0,t(x) -在(e, +) 上单调递减，且 x +,t (x) 0 x = e t(x) 取得最大值为 1 ，当t(x) = -2 时，仅有一个实数根，et(x) = 2a应 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ， t(x) = 2a应 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ，0 2a 0.322 + x2 = 1 2则 y + y =12t, 129 +18t 216.6分 y y = -, 1 29 +18t 2又因为CA = (x1
13、-1, y1 )， CB = (x2 -1, y2 )，uur uuur4 4 2416CACB = (x1 -1)(x2 -1) + y1 y2 = ty1 -ty -32 + y1 y2 = (1+ t3 )y1 y2 -t ( y1 + y2 )+39= (1 + t 2 ) -16 - 4t 12t+ 16 = 0 ，.10 分9 + 18t 23 9 + 18t 29所以C A C B .因为线段 AB 的中点为 M，所以| AB|= 2| CM |.12 分20.(I)依题意， f (x) = ex - 2 + sin x 1 分ex e0 = 1, sin x -1 0 故 f
14、(x) f (0) = 0 .4 分(II)解法一：依题意， g(x) = ex - 2x - cos x + ln(x +1), x -1令 h(x) = g (x) = e x +1x +1+ sin x - 2, h(0) = 0而 h (x) = ex -1+ cos x ，可知当 x p 0 .6 分故函数 h(x) 在(x +1)2p(0,) 上单调递增，故当 x 2(0,), h (x)2p(0,), h(x)2= g (x) g (0) = 0 8 分当 x (-1, 0) 时，函数 h (x) 单调递增，而 h (0) = 1又 h (-9- 9909) = e 10 + c
15、os(-) -100 0 ，即函数 h(x) 单调增，使得 g (x) 单调递增；0故当 x (x , 0), g (x) -1h(x) = g (x) = e x +1x +1+ sin x - 2, h(0) = 0 .5 分而 h (x) = ex -1+ cos x ，可知当 x p 0 ,故 h(x) 在p上单调递增，故(x +1)2(0,), h (x)2(0,)2h(x) h(0) = 0, g (x) 0当 x (-1, 0) 时，令 s(x) = (x +1)2 e x , t(x) = (x +1)2 cos x则 s (x) = (x +1)(x + 3)e x 0 ，故
16、 s(x) 是(-1, 0) 上的增函数所以 s(-1) s(x) s(0), 0 s(x) 1 , e x 1.8 分122( x +1)2又0 ( x +1)2 1, cos1 cos x 1, 0 t( x) 1 , cos x 110 分222( x +1) 2设(x , 0) I (x , 0) = (x , 0) ，则在区间(x , 0) 上 h (x) = ex -1+ cos x 0 ，故 h(x) 是(x , 0)1200(x +1)200上的增函数，即在区间(x , 0) 上 g (x) = ex +1x +1+ sin x - 2 0 11 分故当 x = 0 时，函数 g(x) 有极小值 g(0) = 0 .12 分