1、第一节 函数的概念及其表示 学习要求:1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数的有关概念 函数的定义 设 A,B 是非空的 实数集,如果对于集合 A 中 任意一个数 x,按照某种确定的对应关系f,在集合 B 中都有 唯一确定的数 y 和它对应,那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B的一个函数 函数的记法 y=f(x),xA 定义域 x 叫做自变量,x 的 取值范围 A 叫做函数的定义域 值域 函数值的集合f(x)|xA
2、叫做函数的值域 提醒 判断两个函数是否相同,要抓住以下两点:定义域是否相同;对应关系是否相同,当解析式可以化简时,要注意化简过程的等价性.2.同一个函数的概念 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法、图象法和列表法.4.分段函数 在函数的定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的 对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.提醒 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义区间端点应不重不漏.知识拓展 1.常
3、见的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于 0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.(3)一次函数、二次函数的定义域为 R.(4)y=ax(a0 且 a1),y=sinx,y=cosx 的定义域均为 R.(5)y=logax(a0 且 a1)的定义域为x|x0.(6)y=tanx 的定义域为 x xR 且 xk+2,kZ.(7)函数 f(x)=x0的定义域为x|xR,且 x0.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k0)的值域是 R.(2)y=ax2+bx+c(a0)的值域:当 a0 时,值域为4-24,+),当 a0 且 a1)的值域是(0,+).(5)y=logax(a0 且
4、a1)的值域是 R.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数 y=f(x)的图象与直线 x=a 最多有 2 个交点.()(2)函数 f(x)=x2-2x 与 g(t)=t2-2t 是同一个函数.()(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.()(4)分段函数是由两个或几个函数组成的.()(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教 A 版必修第一册 P73T11 改编)若函数 y=f(x)的定义域为 M=x|-2x2,值域为 N=y|0y2,则函数 y=f(x)的图象可能是()答案 B 3.
5、(新教材人教 A 版必修第一册 P67T3 改编)下列函数中,与函数 y=x+1 是同一个函数的是()A.y=(+1)2 B.y=33+1 C.y=2+1 D.y=2+1 答案 B 4.(新教材人教 A 版必修第一册 P72T1 改编)函数 f(x)=2-1+1-2的定义域为()A.0,2)B.(2,+)C.0,2)(2,+)D.(-,2)(2,+)答案 C 5.(易错题)已知 f()=x-1,则 f(x)=.答案 x2-1(x0)【易错点分析】解答本题容易出现的错误是在应用换元法求函数的解析式时,忽视自变量的取值范围.求函数的定义域 1.(2020 四川树德中学高三二模)函数 f(x)=12
6、-+ln(x+1)的定义域是()A.(2,+)B.(-1,2)(2,+)C.(-1,2)D.(-1,2 答案 C 函数的定义域应满足2-0,1+0,解得-1x 0,0,ln 0,解得 1x0 且 1-x1,解得 x0 且 a1)的定义域为 .答案(0,2 解析 由1-|-1|0,-1 0,解得 0 0,3,0,则(14)的值是()A.9 B.-9 C.19 D.19 答案 C 140,f(14)=log214=-2,又-20,f(14)=f(-2)=3-2=19.角度二 根据分段函数求参数的值 典例 3 已知 f(x)=2-2,0,-2+3,0,若 f(a)=2,则 a 的取值为()A.-1
7、或 2 B.1 或 2 C.-1 D.2 答案 A f(a)=2,当 a0 时,2a-2=2,解得 a=2;当 a0 时,-a2+3=2,解得 a=-1.综上,a 的取值为-1 或 2.角度三 根据分段函数解不等式 典例 4(2020 甘肃武威第六中学高三模拟)设函数 f(x)=log2(+1),0,-,0,则满足 f(x+1)2 的 x 的取值范围是()A.(-4,3)B.(-5,2)C.(-3,4)D.(-,-3)(4,+)答案 B 因为 f(x)=log2(+1),0,-,0,所以 f(x+1)=log2(+2),-1,-(+1),-1.当 x-1 时,f(x+1)2 即 log2(x+
8、2)2,解得 x2,所以-1x2;当 x-1 时,f(x+1)2 即-(+1)-5,所以-5x-1.综上,当 f(x+1)0,+,0,且 f(0)=3,f(-1)=4,则 f(f(-3)=()A.-1 B.-lg3 C.0 D.1 答案 A 由 f(x)=-lg,0,+,0,且 f(0)=3,f(-1)=4,得0+=1+=3,-1+=4,解得=12,=2,则 f(-3)=(12)-3+2=10,则 f(f(-3)=f(10)=-lg10=-1.2.设函数 f(x)=3-,1,2,1.若 (56)=4,则 b=()A.1 B.78 C.34 D.12 答案 D f(56)=3 56 =52-b,
9、若52-b32,则 f(56)=(52-)=3(52-)-b=4,解得 b=78,不符合题意,舍去.若52-b1,即 b32,则252-=4,解得 b=12.3.已知函数 f(x)=log13,0,2,0,若 f(a)12,则实数 a 的取值范围是 .答案(-1,33)解析 当 a0 时,由 2a12,解得-10 时,由 log13 12,解得 0a33.综上,a 的取值范围是(-1,33).数学抽象函数中的新定义问题 1.具有 f(1)=-f(x)性质的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数:f(x)=x-1;f(x)=ln1-1+;f(x)=,0 1.其中满足“倒负”变换的函数
10、是()A.B.C.D.答案 B 对于,f(x)=x-1,f(1)=1-x=-f(x),满足“倒负”变换;对于,f(x)=ln1-1+,f(1)=ln-1+1-f(x),不满足“倒负”变换;对于,f(1)=1,0 1 1=1,1,0,=1,-,0 1,f(x)=x2-2x+2 在13,2-+2上的最小值为 f(1)=1.令 f(x)=x2-2x+2=2,解得 x=0 或 x=2,m2-m+22,0m1.A 组 基础达标 1.下列各组函数中,表示同一个函数的是()A.f(x)=elnx,g(x)=x B.f(x)=2-4+2,g(x)=x-2 C.f(x)=sin22cos,g(x)=sinx D
11、.f(x)=|x|,g(x)=2 答案 D 2.如图所示的是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是()答案 D 3.下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lgx的定义域和值域相同的是()A.y=x B.y=lgxC.y=2x D.y=1 答案 D 4.(多选题)下列函数中,满足 f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x 答案 ABD 5.(2020 天津南开中学高三月考)设函数 f(x)=1+log2(2-),1,2-1,1,则 f
12、(-2)+f(log212)=()A.3 B.6 C.9 D.12 答案 C 6.(2020 天津南开中学高三月考)函数 f(x)=4-|+lg2-5+6-3的定义域为()A.(2,3)B.(2,4 C.(2,3)(3,4 D.(-1,3)(3,6 答案 C 7.(2020 陕西吴起高级中学高三月考)若函数 f(x)的定义域是0,2,则函数 f(x+1)+f(2x-1)的定义域是()A.-1,1 B.12,1 C.12,32 D.0,12 答案 B 8.(2020 江西南昌二模)已知函数 f(x)是单调函数,且对任意 x(0,+),都有 f()+2)=-1,则 f(1)=()A.-4 B.-3
13、 C.-1 D.0 答案 C 设 f(x)+2=k(k 是一个常数),f()+2)=f(k)=-1,f(x)=k-2,f(k)=k-2=-1,x(0,+),k=1,f(x)=1-2,f(1)=1-21=-1.9.(2020 山东潍坊一模)函数 f(x)=+1,-1 0.当 0a1 时,f(a)=f(a-1)即 2a=,解得 a=14,所以 f(1)=f(4)=8;当 a1 时,f(a)=f(a-1)即 2a=2(a-1),无解.综上,f(1)=8.10.下列四个结论中,正确命题的序号是 .f(x)=|与 g(x)=1,0,-1,0表示同一个函数;函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最
14、多有 1 个;f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一个函数;若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f(12)=0.答案 解析 对于,因为函数 f(x)=|的定义域为x|xR 且 x0,而函数 g(x)=1,0,-1,0的定义域是 R,所以二者不是同一个函数;对于,若 x=1 不是 y=f(x)定义域内的值,则直线 x=1 与 y=f(x)的图象没有交点,若 x=1是 y=f(x)定义域内的值,则由函数的定义可知,直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点,即 y=f(x)的图象与直线 x=1 最多有一个交点;对于,f(x)与 g(t)的定义域和对应关系分别对应相同
15、,所以 f(x)与 g(t)表示同一个函数;对于,因为 f(12)=|12-1|12|=0,所以 f(12)=f(0)=1.B 组 能力拔高 11.(2020 河南郑州模拟)设函数 f(x)=-+,1(),2,1,若对任意的 aR 都有 ff(a)=2f(a)成立,则 的取值范围是()A.(0,2 B.0,2 C.2,+)D.(-,2)答案 C 当 a1 时,2a2,ff(a)=f(2a)=22=2f(a),R;当 a0 恒成立,则 f(x)的解析式不可能是()A.f(x)=2019 B.f(x)=ex C.f(x)=x2 D.f(x)=lg1+2 答案 ACD 对于 A,f(f(x)=f(2
16、019)=x(x0)恒成立,所以 f(f(x)-x0 不恒成立,A 正确;对于 B,因为 exx,所以eexexx,所以 f(f(x)=eexx 恒成立,B 错误;对于 C,f(f(x)=x4=x,此方程有 x=0 和 x=1 两个根,所以 f(f(x)-x0 不恒成立,C 正确;对于 D,仅当 x=0 时,f(f(x)=x 成立,所以 f(f(x)-x0 不恒成立,D 正确.13.(2020 甘肃武威高三期末)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名了“高斯函数”.其定义为“设 xR,用x表示不超过x 的最大整数
17、,则 y=x称为高斯函数”,例如:-3.5=-4,2.1=2,已知函数 f(x)=e1+e 12,则函数 y=f(x)的值域是 .答案-1,0 解析 依题意,f(x)=e+1-11+e 12=12 11+e,由于 1+ex1,故-12 12 11+e 12,即 f(x)的值域为(-12,12),所以函数 y=f(x)的值域是-1,0.14.已知函数 f(x)满足对任意的 xR,都有 f(1+x)+f(1-x)=4 成立,则 f(18)+(28)+(38)+(158)=.答案 30 解析 由 f(1+x)+f(1-x)=4,得 f(18)+(158)=4,f(28)+(148)=4,f(78)+
18、(98)=4,又 f(88)=2,f(18)+(28)+(38)+(158)=47+2=30.C 组 思维拓展 15.已知x表示不超过实数 x 的最大整数(xR),如:-1.3=-2,0.8=0,3.4=3.定义x=x-x,则12018+22018+20182018=()A.2017 B.20172 C.1008 D.2016 答案 B 由题意知,12018=12018,22018=22018,20172018=20172018,20182018=0,所以原式=12018+22018+20172018=20172.16.若函数 f(x)满足在定义域 D 内存在实数 x0,使得 f(x0+1)=
19、f(x0)+f(1)成立,则称函数 f(x)为“1 的饱和函数”.给出下列三个函数:f(x)=1;f(x)=2x;f(x)=lg(x2+2).其中是“1 的饱和函数”的所有序号为()A.B.C.D.答案 B 对于,若存在实数 x0,满足 f(x0+1)=f(x0)+f(1),则10+1=10+1,所以02+x0+1=0(x00,且 x0-1),显然该方程无实根,因此不是“1 的饱和函数”;对于,若存在实数 x0,满足 f(x0+1)=f(x0)+f(1),则20+1=20+2,解得 x0=1,因此是“1 的饱和函数”;对于,若存在实数 x0,满足 f(x0+1)=f(x0)+f(1),则lg(x0+1)2+2=lg(02+2)+lg(12+2),化简得 202-2x0+3=0,显然该方程无实根,因此不是“1 的饱和函数”.