1、第2讲椭圆、双曲线、抛物线 考点1圆锥曲线的定义及标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2ab0)，连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点令OAF2(O为坐标原点)，则sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，所以122，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为1.故选B.(2)本题主要考查椭圆的标准方程及定义，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算不妨令F1，F2分别为椭
2、圆C的左、右焦点，根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)【答案】(1)B(2)(3，)求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法(2)待定系数法顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y22ax或x22ay(a0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为1(m0，n0，且mn)双曲线方程可设为1(mn0)这样可以避免讨论和烦琐的计算对于1和1来说，抓住a、b、c间的关系是关键.对接训练12019江西九江模拟点M(5,3)到抛物线y
3、ax2(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2 By12x2或y36x2Cy36x2 Dyx2或yx2解析：当a0时，可得yx2；当a0，b0)的左焦点为(3,0)，且C的离心率为，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意，可得c3.又由e，得a2.又b232225，故双曲线C的方程为1，故选C.答案：C 考点2圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e ；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e .2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系例2(1)2019全国
4、卷若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3C4 D8(2)2019全国卷已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_【解析】(1)本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(，0)，所以，解得p8，故选D.(2)本题主要考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，平面向量的相关知识，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直
5、观想象、数学运算通解因为0，所以F1BF2B，如图所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBF1O，tanBOF2.因为tanBOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.优解因为0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以OBF2OF2B，又，所以A为F1B的中点，所以OAF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以OBF2为等边三角形由F
6、2(c,0)可得B，因为点B在直线yx上，所以c，所以，所以e2.【答案】(1)D(2)2圆锥曲线几何性质的应用技巧1求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系2解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.对接训练32019河北衡水中学一模椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或2
7、1解析：若a29，b24k，则c，由，得，得k；若a24k，b29，则c2k5，由，得，得k21.综上可知，选C.答案：C42019全国卷双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若|PO|PF|，则PFO的面积为()A. B.C2 D3解析：不妨设点P在第一象限，根据题意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形POF的高h，所以SPFO.答案：A 考点3直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，
8、方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数例32019全国卷已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.【解析】设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.解
9、决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1通法：将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入双曲线E的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题2点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即0.对接训练52019湖北武汉调研已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AM
10、N的面积为时，求k的值解析：(1)由题意得得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积S|MN|d，由，得k1.所以当AMN的面积为时，k1.课时作业15椭圆、双曲线、抛物线12019江西南昌一模已知抛物线方程为x22y，则其准线方程为()Ay1 By1Cy Dy解析：由题意得，抛物线的准线方程为y，故选C.答案：C22019河南南阳期末若双曲线1(a0)的一条渐近线与直线yx垂直
11、，则此双曲线的实轴长为()A2 B4C18 D36解析：双曲线的渐近线方程为yx，由题意可得1，得a9，2a18.故选C.答案：C32019安徽合肥二检已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2BAP，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：如图，由题意知，P为以F1A为直径的圆上一点，所以F1PAP，结合F2BAP知F1PF2B.又|F1B|F2B|，所以BF1F2为等腰直角三角形，所以|OB|OF2|，即bc，所以a2b2c22c2，即ac，所以椭圆的离心率e，故选D.答案：D42019湖北六校
12、联考已知F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，PF1F230，且虚轴长为2，则该双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 Dx21解析：依题意得2b2，tan60，于是b，2c，ac，a，得a1，因此该双曲线的标准方程为x21，故选D.答案：D52019湖南四校联考已知A，B，P是双曲线1(a0，b0)上不同的三点，且A，B的连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB3，则该双曲线的离心率为()A. B.C2 D3解析：由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x2，y2)，则1，1，又
13、kPA，kPB，所以kPAkPB3，所以离心率e2，故选C.答案：C62019湖南长沙一模已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点A(a0)在C上，|AF|3.若直线AF与C交于另一点B，则|AB|()A12 B10C9 D4.5解析：由抛物线的定义知|AF|3，解得p4，所以抛物线C的方程为y28x，A(1，a)(a0)，则a28，解得a2或a2(舍去)，所以A(1,2)又焦点F(2,0)，所以直线AF的斜率为2，直线AF的方程为y2(x2)，代入抛物线C的方程y28x，得x25x40，所以xAxB5，|AB|xAxBp549，故选C.答案：C72019湖南长沙模拟已知F1，F2是双曲
14、线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 Bxy0Cx2y0 D2xy0解析：由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|6a，所以|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以|PF2|b0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2为等腰三角形，则()A. B.C. D3解析：如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|
15、AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，|BF1|BF2|a，所以|AF1|，|AF2|.所以.故选A.答案：A102019广东仲元中学模拟已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(2,1)，则直线l的斜率为()A. B.C. D1解析：由，得，a24b2，则椭圆C的方程为x24y24b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，y1y22，把A，B的坐标代入椭圆方程，得，得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)，.直线l的斜率为.故选C.答案：C112019河北衡水中学五调已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，
16、F2，过F1作圆x2y2a2的切线，交双曲线右支于点M，若F1MF245，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x解析：如图，作OAF1M于点A，F2BF1M于点B，F1M与圆x2y2a2相切，F1MF245，|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2M|2a，|F1B|2b.又点M在双曲线上，|F1M|F2M|2a2b2a2a，整理，得ba，双曲线的渐近线方程为yx，故选A.答案：A122019重庆七校联考已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则()A4 B2C2 D3解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲
17、线的实半轴长为a2，不妨设焦点在x轴上且点P与点F2在y轴同一侧，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|a1a2，|PF2|a1a2.又|F1F2|2c，F1PF2，所以在F1PF2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos F1PF2，即4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos，化简得3aa4c2，两边同除以c2，得4.故选A.答案：A132019吉林长春质检若椭圆C的方程为1，则其离心率为_解析：解法一由已知可得a2，c1，故椭圆C的离心率e.解法二由已知得椭圆C的离心率e.答案：14
18、2019河南郑州一中摸底测试从抛物线yx2上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5.设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为_解析：由题意，得x24y，则抛物线的准线方程为y1.设P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|y01，所以y04，所以|x0|4，所以SMPF|PM|x0|5410.答案：10152019河南安阳二模已知抛物线C1：yax2(a0)的焦点F也是椭圆C2：1(b0)的一个焦点，点M，P分别为C1，C2上的点，则|MP|MF|的最小值为_解析：将P代入1，可得1，b，c1，抛物线C1的焦点F的坐标为(0,1)，抛物线C1的方程为x24y，准线为直线y1.设点M在准
19、线上的射影为D，根据抛物线的定义可知|MF|MD|，要求|MP|MF|的最小值，即求|MP|MD|的最小值易知当D，M，P三点共线时，|MP|MD|最小，最小值为1(1)2.答案：2162019辽宁五校协作体联考已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线C虚轴的一个端点，若线段AF2与双曲线右支交于点B，且|AF1|BF1|BF2|341，则双曲线C的离心率为_解析：由双曲线的定义可得|BF1|BF2|2a，因为|BF1|BF2|41，所以|BF1|4|BF2|，所以3|BF2|2a.又|AF1|AF2|，|AF1|BF2|31，所以|AF2|3|BF2|，所以|AF2|2a.不妨设A(0，b)，因为F2(c,0)，所以|AF2|，所以2a，又a2b2c2，所以5a22c2，所以，所以e，即双曲线C的离心率为.答案：