1、4.2简单幂函数的图象和性质新课程标准解读核心素养通过具体实例，结合yx，y，yx2，y，yx3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数，会求幂函数的解析式数学抽象、直观想象、逻辑推理我们以前学过函数yx，yx2，y.问题(1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？知识点一幂函数的概念一般地，形如yx(为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数幂函数的特征(1)x的系数为1；(2)x的底数是自变量x，指数为常数；(3)项数只有一项 1在函数y，y3x2，yx22x，y1中，幂函数的个数为_解析：函数
2、yx4为幂函数；函数y3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数yx22x不是yx(为常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y1与yx01(x0)不相等，所以y1不是幂函数答案：12已知f(x)(m1)xm2是幂函数，则m_解析：函数f(x)(m1)xm2是幂函数，m11，即m0.答案：0知识点二五个幂函数的图象与性质1五个常见幂函数的图象2五个常见幂函数的性质解析式yxyx2yx3yyx图象定义域x|x00，)值域0，)y|y00，)奇偶性函数函数函数函数非奇非偶函数单调性在(，)上单调递增在(，0上单调递减，在(0，)上单调递增在(，)上单调递增在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递
3、减在0，)上单调递增公共点都经过点(1，1)观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数yx的图象在第一象限内具有如下特征：直线y1，yx将直角坐标平面的第一象限在直线x1的右侧部分分为()()()三个区域，如图所示，若(1，)yx的图象经过区域()；若(0，1)yx的图象经过区域()；若(，0)yx的图象经过区域()，并且在直线x1的右侧，从x轴起，幂函数yx的指数由小到大递增，即“指大图高”“指小图低” 1已知幂函数的图象过点(2，4)，则其解析式为()Ayx2Byx2CyDyx3解析：选B设幂函数的解析式为yx，当x2时，y4，故24，即2.2在下列四个图形中，yx的图象大致是(
4、)解析：选D函数yx的定义域为(0，)，是减函数3当x(0，1)时，x2_x3.(填“”“”或“幂函数的概念例1(1)在函数yx2，y(x1)2，y3x中，幂函数的个数为()A0B1C2 D3(2)若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则m_解析(1)根据幂函数定义可知，只有yx2是幂函数，所以选B.(2)因为f(x)是幂函数，所以m24m41，即m24m50，解得m5或m1.答案(1)B(2)5或1判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 跟踪
5、训练(多选)下列函数中是幂函数的是()Ay By2x2Cy2x1 Dyx解析：选AD幂函数是形如yx(为常数)的函数，A是1的情形，D是的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数.幂函数的图象及应用例2(链接教科书第66页思考交流)如图，函数y，yx，y1的图象和直线x1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：.若幂函数f(x)的图象经过的部分是，则f(x)可能是()Ayx2 ByCyx Dyx2解析函数yx的图象过部分，函数yx在第一象限内单调递减，只有B选项符合题意故选B.答案B解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论
6、为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)；(2)依据图象确定幂指数与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断 跟踪训练点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x1时，f(x)g(x)；(3)当x(0，1)时，f(x)g(x).幂函数的性质及应用例3(1)已知幂函数f(x)x的图象过点P，试求f(x)的解析式，作出图象，写出定义域及单调区间(2)比较下列各组数的大小：2.3，2.
7、4；()，()；(0.31)，0.35.解(1)因为f(x)x的图象过点P，所以f(2)，即2，得2，即f(x)x2，f(x)的图象如图所示，定义域为(，0)(0，)，单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，0)(2)yx为0，)上的增函数，且2.32.4，2.32.4.yx为(0，)上的减函数，且().yx为R上的偶函数，(0.31)0.31.又函数yx在0，)上单调递增，且0.310.35，0.310.35，即(0.31)0.35.母题探究1(变设问)本例(1)条件不变，试判断f(x)的奇偶性解：由f(x)x2，则f(x)(x)2f(x)，f(x)为偶函数2(变条件)本例(1)中点P变为
8、，其他条件不变(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)的单调性解：f(x)的图象过点P，8，即2321，31，即，函数f(x)的解析式为f(x)x (x0)(1)f(x)(x) f(x)，又f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，f(x)是奇函数(2)0时，yx是增函数；当0时，yx是减函数2比较幂值大小的2种方法 跟踪训练1已知a3，b4，c25，则()Abac BabcCbca Dcab解析：选C因为a39，b4，c255，由幂函数yx的单调性，所以bcf(1a)的实数a的取值范围是_解析：设幂函数为f(x)x，因为其图象过点(2，8)，所以28，解得3，所以f(x
9、)x3.因为f(x)x3在R上为增函数，所以由f(a3)f(1a)，得a31a，解得a2.所以满足不等式f(a3)f(1a)的实数a的取值范围是(2，)答案：(2，)函数yx的图象与性质的探究学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)x，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图问题探究参考幂函数的性质，探究函数f(x)x的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质提示：(1)定义域：x0，函数f(x)x的定义域为x|x0；(2)函数f(x)x的值域为(，22，)；(3)奇偶性：f(x)xf(x)，函数f(x)x为奇函数；(4)单调性：由函数f
10、(x)x的图象可知，函数f(x)x在(，1)，(1，)上为增函数，在(1，0)，(0，1)上为减函数迁移应用试探究函数f(x)x(a0)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图解：(1)定义域：x|x0；(2)值域：R；(3)奇偶性：奇函数；(4)函数f(x)在区间(，0)，(0，)上是增函数证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x1x2)，因为0x1x2，所以x1x20，又a0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)1时，恒有f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)x的图象在yx的图象的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图象(图略)由图象可知1时满足题意，故选B.3若a(1.2)，b1.1，c0.9，它们的大小关系是()Acab BacbCbac Dcb0时，yx在(0，)上递增，1.21.11，即ab1.而cbc.4已知幂函数y(m2m5)x，当x(0，)时，y随x的增大而减小，则实数m的值为_解析：y(m2m5)x是幂函数，m2m51，即(m2)(m3)0，m2或m3.当m2时，m22m33，yx3是幂函数，且满足当x(0，)时，y随x的增大而减小；当m3时，m22m312，yx12是幂函数，但不满足当x(0，)时，y随x的增大而减小，故舍去实数m的值为2.答案：2