1、课时跟踪检测(四十二)数学归纳法1若f(n)1(nN*)，则f(1)的值为()A1B.C1 D非以上答案解析：选C等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n1，则当n1时，最大分母为5，故选C.2下列结论能用数学归纳法证明的是()Axsin x，x(0，)Bexx1(xR)C12n1(nN*)Dsin()sin cos cos sin (，R)解析：选C数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项C符合题意3已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)
2、f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析：选Af(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.4利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN*)的过程中，由nk到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项C2k1项 D2k项解析：选D令不等式的左边为g(n)，则g(k1)g(k)1，其项数为2k112k12k12k2k.故左边增加了2k项5用数学归纳法证明1aa2an1(nN*，a1)，在验证n1成立时，左边所得的项为_解析：当n1时，n12，所以左边1aa2.答案：1aa26用数学归纳法证明，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证
3、的目标不等式是_解析：观察不等式中分母的变化便知答案：7用数学归纳法证明等式12223242(1)n1n2(1)n1.证明：(1)当n1时，左边121，右边(1)01，左边右边，原等式成立(2)假设nk(k1，kN*)时等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k.nk1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意nN*，都有12223242(1)n1n2(1)n1.8用数学归纳法证明：11n(nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边1，所以1，即命题成立(2)假设
4、当nk(k1，kN*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1.又1k2k(k1)，即nk1时，命题成立由(1)(2)可知，命题对所有nN*都成立9已知数列an满足a1a2，an(n2，nN*)(1)求证：对任意nN*，an2恒成立；(2)判断数列an的单调性，并说明你的理由；(3)设Sn为数列an的前n项和，求证：当a3时，Sn2n.解：(1)证明：用数学归纳法证明an2(nN*)恒成立当n1时，a1a2，结论成立；假设nk(k1，kN*)时结论成立，即ak2，则nk1时，ak12，所以nk1时，结论成立故由及数学归纳法，知对一切的nN*，都有an2成立(2)数列an是单调递减的数列因为aaan2a(an2)(an1)，又an2，所以aa0，所以an1an.所以an是单调递减的数列(3)证明：由an1，得aan2，所以a4an2.根据(1)知an2(nN*)，所以，所以an12(an2)2(an12)n(a12)所以当a3时，an12n，即an1n2.当n1时，S132，当n2时，Sn3a2a3an332(n1)2n12n.综上，当a3时，Sn2n(nN*)
