1、浙江省湖州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题:1.下列四条直线中，倾斜角最大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线的斜率求出对应的倾斜角，即可判断.【详解】直线的斜率为，则该直线的倾斜角为直线的斜率为，则该直线的倾斜角为直线的斜率为，则该直线的倾斜角为直线的斜率为，则该直线的倾斜角为故选：B【点睛】本题主要考查了斜率与倾斜角的变化关系，属于基础题.2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点Q的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由点关于平面对称点的横，纵，竖坐标的关系求解即可.【详解】点关于平面对称点，
2、横坐标，竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数则对称点故选：D【点睛】本题主要考查了求关于坐标平面对称点的坐标，属于基础题.3.直线截圆所得弦长是（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】由点到直线的距离公式得出原点到直线的距离，再根据弦长公式求解即可.【详解】原点到直线的距离为 则所得弦长为故选：A【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式以及弦长公式，属于基础题.4.椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离是（ ）A. 3B. 5C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义求解即可.【详解】设点P到另一个焦点的距离为由椭圆的定义可得：，解得故选：C
3、【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，属于基础题.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图得出该几何体的直观图，结合棱锥的体积公式计算即可得出答案.【详解】该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥则故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.6.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】等价于，故推不出；由能推出故“”是“”的必要不充
4、分条件故选B【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题7.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若则B. 若则C. 若则D. 若则【答案】D【解析】【详解】A项，可能相交或异面,当时，存在，故A项错误；B项，可能相交或垂直,当时，存在，故B项错误；C项，可能相交或垂直,当时，存在，故C项错误；D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故
5、选D.本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.8.已知正方体，Q是平面内一动点，若与所成角为，则动点Q的轨迹是（ ） A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的数量积公式化简即可判断动点Q的轨迹.【详解】设正方体的棱长为1，以分别为x，y，z，建立空间直角坐标系，如图所示，设，所以由于，所以，平方得，即，即轨迹为抛物线.故选：C【点睛】本题主要考查了由线线角求其他量，属于基础题.9.已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，则点P到点Q
6、的距离与点P到x轴距离之和的最小值是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义得出，当三点共线时，最小，根据几何关系得出的最小值，即可得出答案.【详解】由抛物线的方程可知，则准线方程为过点作轴的垂线，垂足于点，延长交准线于点，设圆的圆心为点 根据抛物线的定义可得：所以当最小时，则最小，即点三点共线时，最小故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用以及由抛物线方程求焦点坐标等，属于中档题.10.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段上的点（不含端点），设直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）A. B. C. D.
7、【答案】B【解析】【分析】由二面角，线面角，异面直线的夹角的定义得出，由直角三角形的边角关系以及斜边与直角边的长度关系，得出，结合正切函数的单调性，即可得出答案.【详解】连接相交于点，取的中点，连接，过点作，交与点，过点作的垂线，垂足于点，连接，如下图所示由题意可知，面，所以面因为，所以面故因为面，面，所以又，面，所以面，面，所以则 由直角三角形的性质得，则由直角三角形的性质得， 则故选：B【点睛】本题主要考查了异面直线夹角，线面角以及面面角，考查较为综合，属于较难题.二、填空题:11.双曲线的离心率是_，渐近线方程是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据双曲线方程得出，结合双
8、曲线离心率公式以及渐近线方程求解即可.【详解】由双曲线方程可知：则离心率为，渐近线方程为：，即故答案为：；【点睛】本题主要考查了求离心率以及渐近线方程，属于基础题.12.棱长为1的正方体的内切球的半径是_，该正方体的外接球的表面积是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】正方体的内切球半径为棱长的一半，正方体的外接球的半径为体对角线的一半，由球的表面积公式求解即可.【详解】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，则棱长为1的正方体的内切球的半径是正方体的外接球的半径为体对角线的一半，则所以该正方体的外接球的表面积是 故答案为：；【点睛】本题主要考查了正方体的内切球，外接球半径的求法以及球
9、的表面积的计算，属于基础题.13.已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆的圆心，所在直线方程是_，两圆公共弦的长度是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据求出直线斜率，结合点斜式写出方程即可；两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，根据点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，结合弦长公式求解即可.【详解】，所以的方程为；两圆方程相减得公共弦所在的直线方程：，圆心到其距离为，于是.故答案为：；【点睛】本题主要考查了由直线上的两点求斜率以及直线方程，两圆相交的弦长问题，属于中档题.14.已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，则_._.【答案】 (1). 3 (2). 【解析】【分析】设，
10、利用数量积公式得出，由平行四边形法则得出，利用数量积公式计算，由模长公式计算.【详解】设，则由题意得：故答案为：3；【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积以及模长的求法，属于中档题.15.过双曲线的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程是_.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的性质得出的值以及点坐标，由两点间距离公式得出，进而得出 是边长为2的正三角形，解出，即可得出双曲线的方程.【详解】根据题意得，所以，而，所以是边长为2的正三角形，于是，进而求得，所以双曲线方程为：.故答案为：【点睛】本题主要考查了
11、根据的值求双曲线的方程，属于中档题.16.在三棱锥中，则三棱锥的体积是_.【答案】【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面，根据棱锥体积公式求解即可.【详解】取中点为，连接因为中，所以为直角三角形则又，所以，即又，所以平面，平面，.故答案为：【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理以及棱锥的体积公式，属于中档题.17.在ABC中，B(10，0)，直线BC与圆：x2(y5)225相切，切点为线段BC的中点若ABC的重心恰好为圆的圆心，则点A的坐标为 【答案】(0，15) 或 (8，1)【解析】试题分析：设BC的中点为D，设点A（x1，y1）、C（x2，y2），则由题意可得DBC，且D（）故
12、有圆心（0，5）到直线AB的距离D=r=5设BC的方程为y-0=k（x-10），即 kx-y-10k=0则有，解得 k=0或 k=-当k=0时，有，当时，有，解得，或.再有三角形的重心公式可得，由此可得或故点A的坐标为（0，15）或（-8，-1），故答案为（0，15）或（-8，-1）考点：直线与圆位置关系点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式、斜率公式、三角形的重心公式，属于中档题三、解答题:18.已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，圆.（1）已知平行于的直线与圆C相切，求直线的方程；（2）已知动点P在圆C上，求的面积的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【
13、分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的方程；（2）当点为直线，与圆的切点时，高分别去最大值和最小值，根据圆心到直线的距离以及圆的半径确定高的最大值与最小值，由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）设直线，或所以直线或（2）的底的长为定值，则三角形的面积与边上的高成正比当点为直线与圆的切点时，高最小则当点为直线与圆的切点时，高最大则即的最小面积为；最大面积为的面积的取值范围为【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系求距离的最值，属于中档题.19.如图，在正方体中，M是线段上的中点. （1）证明：平面；（2）求异面直线与的所成角的余弦值.【答案】
14、（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）由于，则异面直线与的所成角为，根据直角三角形的边角关系即可得出直线与所成角的余弦值.【详解】（1）取的中点，连接 因为在正方体中 所以四边形为平行四边形，则而平面，平面，所以平面；（2）根据，所以异面直线与的所成角为设正方体的棱长为2则，此时得，所以直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及异面直线夹角的求法，属于中档题.20.设抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为45的直线与C交于A，B两点.（1）求值；（2）求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】（1）8；（2）和.【
15、解析】【分析】（1）利用焦点坐标以及倾斜角得出方程，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可；（2）根据题意求出中垂线的方程，进而设出圆心坐标，由圆心到准线距离等于半径，列出方程求解即可得出圆心坐标，根据圆心坐标以及半径写出该圆的方程.【详解】（1）因为，所以方程：设将代入到抛物线方程得：，即，于是.（2）设的中点，则于是线段的中垂线方程：则圆心N必在中垂线上，设其坐标为则，所以或，当时，圆心，半径，圆的方程为；当时，圆心，半径，圆的方程为.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交的弦长以及求圆的方程，属于中档题.21.如图，己知三棱台，平面平面，和均为等边三角形，O为的中点.
16、（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得出平面，最后根据线面垂直的性质得出；（2）补全三棱锥，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可【详解】（1）由题意得，平面平面，且交线为，平面，于是平面又平面，所以.（2）补全三棱锥在中，即为等腰三角形，所以由(1)知，平面，平面，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系设，则， 设平面的法向量为 取，则设直线与平面所成角为所以【点睛】本题主要考查了利用面面垂直以及线面垂直的性质证明线线垂直，利用向量法求线面角，属于中档题.22.如图，已知椭圆经过点，且离心率，圆以椭圆的短轴为
17、直径.过点P作互相垂直的直线，且直线交椭圆C于另一点D，直线交圆于A，B两点.（1）求椭圆和圆的标准方程；（2）求面积的最大值.【答案】（1）， ；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意求出的值，即可确定椭圆以及圆的方程；（2）由直线与圆相交的弦长公式求出线段的长，利用弦长公式得出的长，由三角形面积公式得出的面积，利用换元法以及二次函数的性质得出面积的最大值.【详解】（1）由题意得：椭圆的方程为：，圆的方程为：；（2）设，由题意直线的斜率存在且不为设的方程为：，的方程：圆心到直线的距离为， 联立方程：，所以，设，当且仅当，即，时取等号.【点睛】本题主要考查了根据的值求椭圆方程以及椭圆中三角形面积问题，属于较难题.
