1、专题突破练19专题五立体几何过关检测一、单项选择题1.(2020山东德州一模,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是C1D1的中点,且AP=AD+xAB+yAA1,则实数x+y的值为()A.-32B.-12C.12D.322.(2020山西晋中一模,5)给定下列四个命题,其中真命题是()A.垂直于同一直线的两条直线相互平行B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行C.垂直于同一平面的两个平面相互平行D.若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直3.(2020山东临沂一模,7)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中商功有如下问
2、题:“今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,问积及为粟几何?”,意思是“有粟若干,堆积在平地上,底面圆周长为12丈,高为2丈,问它的体积和粟各为多少?”如图,主人意欲卖掉该堆粟,已知圆周率约为3,一斛粟的体积约为2 700立方寸(单位换算:1立方丈=106立方寸),一斛粟米卖270钱,一两银子1 000钱,则主人卖后可得银子()A.800两B.1 600两C.2 400两D.3 200两4.(2020福建厦门质量检查,8)如图,在圆柱OO1中,OO1=2,OA=1,OAO1B,则AB与下底面所成角的正切值为()A.2B.2C.22D.125.(2020湖南怀化三模,7)已知一块形状为正四棱柱AB
3、CD-A1B1C1D1(底面是正方形,侧棱与底面垂直的四棱柱)的实心木材,AB=2,AA1=3.若将该木材经过切割加工成一个球体,则此球体积的最大值为()A.92B.823C.43D.171766.(2020青海西宁一模,10)某同学在参加通用技术实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为4,则该球的半径是()A.2B.4C.26D.467.(2020广东湛江二模,7)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是两个同高的几何体,
4、如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一,则该几何体的体积为()A.223B.423C.42D.838.已知A,B,C为球O的球面上的三个定点,ABC=60,AC=2,P为球O的球面上的动点,记三棱锥P-ABC的体积为V1,三棱锥O-ABC的体积为V2,若V1V2的最大值为3,则球O的表面积为()A.169B.649C.32D.6二、多项选择题9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,其中正确的结论为()A.直线AM与C1C是相交直线B.直线AM
5、与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线MN与AC所成的角为6010.(2020山东潍坊三模,10)已知m,n是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,则下列命题正确的是()A.若m,n,则mnB.若,则C.若m,n,m,n,则D.若n,n,则11.(2020山东青岛二模,11)如图,正方形SG1G2G3的边长为1,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,SG2交EF于点D,现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S-GEF中必有()A.SG平面EFGB.设线段SF的中点为H,则DH平面SGEC.四面体S-GEF的体
6、积为112D.四面体S-GEF的外接球的表面积为3212.(2020山东济宁三模,10)线段AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,ABEF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直,且AB=2,AD=EF=1.则()A.DF平面BCEB.异面直线BF与DC所成的角为30C.EFC为直角三角形D.VC-BEFVF-ABCD=14三、填空题13.(2020宁夏银川联考,14)九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺,术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是说:圆堡瑽(圆柱
7、体)的体积为V=112底面圆的周长的平方高,则由此可推得圆周率的取值为.14.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2 m,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到P点,蚂蚁爬行的最短路径为23 m,则圆锥的底面圆半径为.15.(2019天津,文12)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.16.(2020江西南昌三模,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=32,AD=2,AA1=23,已知P是矩形ABCD内一动点,PA1与平面ABCD所成角为3,设点
8、P形成的轨迹长度为,则tan =.四、解答题17.(2020广东珠海三模,19)如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,平面CDEF平面ABCD,且四边形CDEF为矩形,BC=2AD=2,CF=23,AB=13,BE=26.(1)求证:AD平面BDE;(2)求点D到平面BEF的距离.18.(2020山东济南三模,17)已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AB=AD=12BC,将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90,形成如图所示的几何体,其中M为CE的中点.(1)求证:BMDF;(2)求异面直线BM与EF所成角的大小.19.(2020河北唐山二模,18)如图,在四
9、边形ABCD中,ABAD,ADBC,AD=2AB=2BC=2,AE平面ABCD,CF平面ABCD,CF=2AE.(1)求证:CDEF;(2)若二面角B-EF-D是直二面角,求AE的长.20.(2020江西重点中学协作体第一次联考,18)如图所示,正方形ABCD边长为2,将ABD沿BD翻折到PBD的位置,使得二面角P-BD-A的大小为120.(1)证明:平面PAC平面PBD;(2)点M在直线PD上,且直线BM与平面ABCD所成角的正弦值为32,求二面角M-BC-P的余弦值.21.(2019北京,理16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADCD,ADBC,PA=AD=CD=2,BC
10、=3.E为PD的中点,点F在PC上,且PFPC=13.(1)求证:CD平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上,且PGPB=23,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.22.(2020天津静海一中期中,18)如图所示,在直角梯形ABCD中,ADBC,ADAB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,DE=2,平面EDCF平面ABCD.(1)求证:DF平面ABE;(2)求二面角B-EF-D的正弦值;(3)在线段BE上是否存在点P,使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为66?若存在,求出线段BP的长;若不存在,请说明理由.专题突破练19专题五立体几何过关检测
11、1.D解析AP=AD+DD1+D1P=AD+AA1+12AB=AD+xAB+yAA1,故x=12,y=1,x+y=32.2.D解析正方体同一顶点的三条棱两两垂直,则垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A错误;若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,则这两个平面互相平行,故B错误;正方体的前面和侧面都垂直于底面,这两个平面不平行,故C错误;若两个平面,垂直,假设一个平面内与它们的交线l不垂直的直线l1与另一个平面垂直,因为l1,且平面,的交线l,所以可得l1l,这与题设l与l1不垂直相互矛盾,所以假设不成立,原命题成立,故D正确.3.A解析底面半径为r=1223=2(丈),V=13322
12、2=8(立方丈)=8106(立方寸)=8000027(斛),故80000272701000=800(两).4.B解析由题意,作BB垂直于底面,连接OB,AB,如图所示.在圆柱OO1中,OO1=2,OA=1,OAO1B,则BAB即为AB与下底面所成角,而OAOB,所以AB=12+12=2,所以tanBAB=BBAB=22=2.5.C解析根据题意,当球内切于棱长为2的正方体时,球的体积最大,故该球体积最大时,半径为1,体积为V=43R3=43.6.B解析设截面圆半径为r,球的半径为R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即23,根据截面圆的周长可得4=2r,得r=2,故由题意知R2=r2+(2
13、3)2,即R2=22+(23)2=16,所以R=4.7.A解析由题意可知,该几何体的体积等于圆锥的体积,圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一,底面周长为233=2.圆锥的底面半径为1,母线长为3,高为32-1=22.体积V圆锥=131222=223.8.B解析如图,设ABC的外接圆圆心为O,其半径为r,球O的半径为R,当球心O在三棱锥P-ABC内时,由题意可知,V1V2max=R+R2-r2R2-r2=3,可得R=23r.2r=ACsinABC=43,r=23,R=43,S球=4169=649.当球心O在三棱锥P-ABC外时,结果不变.故选B.9.CD解析结合图形,显然直线AM与C1
14、C是异面直线,直线AM与BN是异面直线,直线BN与MB1是异面直线,直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角.在等边三角形AD1C中,ACD1=60,所以直线MN与AC所成的角为60.综上正确的结论为CD.10.AD解析m,m.又n,mn,故A正确;B选项中,可能平行,也可能相交,故B不正确;C选项中,当mn时,可能相交,故C不正确;由面面垂直判定定理,知D正确.11.ABD解析如图所示,SGGF,SGGE,GEGF=G,SG平面EFG,故A正确;DH为SEF的中位线,则DHSE,DH平面SGE,DH平面SGE,故B正确;由题知,SG=1,GE=GF=12,VS-GEF=13SGEFS
15、G=131212121=124,故C不正确;GE,GF,GS两两垂直,故外接球直径2R=12+122+122=62,所以S=4R2=32,故D正确.12.BD解析因为ABEF,ABCD,所以四边形CDEF确定一个平面,由于DC,EF长度不相等,则DF,CE不平行,即DF与平面BCE有公共点,故A错误;连接OF,OE,OE交BF于点G,因为OBEF,OB=EF,OB=OF=1,所以四边形OBEF为菱形,则BE=OF=1,所以OBE为等边三角形,由于G为OE的中点,则OBG=12OBE=30,因为ABCD,所以异面直线BF与DC所成的角为ABF=OBG=30,故B正确;由于四边形OBEF为菱形,则
16、BF=2BG=212-122=3,由面面垂直的性质以及线面垂直的性质可知,BCBE,BCBF,所以CF=12+(3)2=2,CE=12+12=2,又因为EF2+CE2=3CF2,所以EFC不是直角三角形,故C错误;因为BF=3,BE=1,EF=1,所以SBEF=12312-322=34,由面面垂直的性质可知,BC平面BEF,所以VC-BEF=13341=312,过点F作AB的垂线,垂足为H,则FH=12BF=32,根据面面垂直的性质可知HF平面ABCD,则VF-ABCD=132132=33,即VC-BEFVF-ABCD=14,故D正确.13.3解析设圆柱底面圆的半径为r,圆柱的高为h,由题意知
17、112(2r)2h=r2h,解得=3.14.23 m解析将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形,蚂蚁从P爬行一周后回到P(记作P1),作OMPP1,如图所示.由最短路径为23m,即PP1=23m,OP=2m,由圆的性质可得POM=P1OM=3,即扇形所对的圆心角为23,则圆锥底面圆的周长为l=232=43(m),则底面圆的半径为r=l2=432=23(m).15.4解析如图,由底面边长为2,可得OC=1.设M为VC的中点,则O1M=12OC=12,O1O=12VO,VO=VC2-OC2=2,O1O=1.V圆柱=O1M2O1O=1221=4.16.-37解析因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
18、AA1平面ABCD,所以PA1与平面ABCD所成角为APA1.因为PA1与平面ABCD所成角为3,所以APA1=3.因为AA1=23,所以AP=2.从而点P形成的轨迹为以A为圆心,2为半径的圆在矩形ABCD内一段圆弧DM,设其圆心角为,则sin=322=34,所以tan=37.所以tan=tan2=2tan1-tan2=2371-97=-37.17.(1)证明EDCD,平面EDCF平面ABCD,且平面EDCF平面ABCD=CD,ED平面EDCF,ED平面ABCD.又AD,BD平面ABCD,EDBD,ADED.在RtBDE中,ED=23,BE=26,BD=23.在ABD中,BD=23,AD=1,
19、AB=13,AB2=AD2+BD2,ADBD.又EDBD=D,ED,BD平面BDE,AD平面BDE.(2)解由(1)可知BCD为直角三角形,且BD=23,BC=2,CD=BD2+BC2=4,作BHCD于点H,则BH=BCBDCD=3.由已知平面EDCF平面ABCD,且平面EDCF平面ABCD=CD,BH平面ABCD,BH平面CDEF,VB-DEF=13SDEFBH=13124233=4.在BEF中,BF=BC2+CF2=4,EF=CD=4,BE=26,SBEF=122642-(6)2=215.设点D到平面BEF的距离为h,则13SBEFh=VB-DEF,即13215h=4,解得h=2155,所
20、以点D到平面BEF的距离为2155.18.(1)证明(方法一)连接CE,CE与BM交于点N,根据题意,该几何体为圆台的一部分,且CD与EF相交.故C,D,F,E四点共面.因为平面ADF平面BCE,所以CEDF.因为M为CE的中点,所以CBM=EBM,所以N为CE的中点,又BC=BE,所以BNCE,即BMCE,所以BMDF.(方法二)如图,以B为坐标原点,BE,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则AD=AF=1,BC=BE=2,所以B(0,0,0),M(2,2,0),D(0,1,1),F(1,0,1),所以BM=(2,2,0),DF=(1,-1,0),所以B
21、MDF=2-2=0,所以BMDF.(2)解如图,以B为坐标原点,BE,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则AD=AF=1,BE=2,所以B(0,0,0),M(2,2,0),E(2,0,0),F(1,0,1),所以BM=(2,2,0),EF=(-1,0,1),所以cos=BMEF|BM|EF|=-222=-12,所以异面直线BM与EF所成角的大小是60.19.(1)证明连接AC,CF平面ABCD,CD平面ABCD,CFCD.AD=2,AB=BC=1,AC=CD=2,AC2+CD2=AD2,可得ACCD.AE平面ABCD,CF平面ABCD,AECF,A,C,F
22、,E四点共面.又ACCF=C,CD平面ACFE.EF平面ACFE,CDEF.(2)解如图所示,以A为原点,AB,AD,AE分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设AE=t,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,0,t),F(1,1,2t).则BE=(-1,0,t),BF=(0,1,2t),DE=(0,-2,t),DF=(1,-1,2t).设平面BEF的法向量为m=(x1,y1,z1),则mBE=0,mBF=0,即-x1+tz1=0,y1+2tz1=0,取z1=1,x1=t,y1=-2t,则平面BEF的一个法向量m=(t,-2t,1).设平
23、面DEF的法向量为n=(x2,y2,z2),则nDE=0,nDF=0,即-2y2+tz2=0,x2-y2+2tz2=0,取z2=2,x2=-3t,y2=t,则平面DEF的一个法向量n=(-3t,t,2).由二面角B-EF-D是直二面角,则mn=0,即5t2=2,解得t=105.所以AE=105.20.(1)证明设AC交BD于点E,连接PE,即E为BD中点,又AB=AD,AEBD,PD=PB,PEBD.AE平面PAC,PE平面PAC,AEPE=E,BD平面PAC.又BD平面PBD,平面PAC平面PBD.(2)解AEBD,PEBD,PEA即为二面角P-BD-A的平面角,即PEA=120,得PEC=
24、60.AB=2,EP=EC=PC=2.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P12,32,62.设DM=DP=12,32,62,BM=BD+DM=12-2,32-2,62.易得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1).直线BM与平面ABCD所成角的正弦值为32,|cos|=nBM|n|BM|=6212-22+32-22+622=32,解得=2,BM=(-1,1,6),CB=(2,0,0).设平面MBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1BM=0,n1CB=0,即-x1+y1+6z1=0,2x1=0,令y1=6,得平
25、面MBC的一个法向量n1=(0,6,-1).CP=12,-12,62,CB=(2,0,0),设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2CP=0,n2CB=0,即12x2-12y2+62z2=0,2x2=0,令y2=6,得平面PBC的一个法向量n2=(0,6,1).设二面角M-BC-P的平面角为,cos=n1n2|n1|n2|=6-177=57,即二面角M-BC-P的余弦值为57.21.(1)证明因为PA平面ABCD,所以PACD.又因为ADCD,PAAD=A,所以CD平面PAD.(2)解过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD,所以PAAM,PAAD.如图,建立空间直角
26、坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,-2),AP=(0,0,2).所以PF=13PC=23,23,-23,AF=AP+PF=23,23,43.设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则nAE=0,nAF=0,即y+z=0,23x+23y+43z=0.令z=1,则y=-1,x=-1.于是平面AEF的一个法向量n=(-1,-1,1).又因为平面PAD的一个法向量为p=(1,0,0),所以cos=np|n|p|=-33.由题知,二面角F-A
27、E-P的平面角为锐角,所以其余弦值为33.(3)解直线AG在平面AEF内.因为点G在PB上,且PGPB=23,PB=(2,-1,-2),所以PG=23PB=43,-23,-43,AG=AP+PG=43,-23,23.由(2)知,平面AEF的一个法向量n=(-1,-1,1).所以AGn=-43+23+23=0.所以直线AG在平面AEF内.22.(1)证明四边形EDCF为矩形,DECD.又平面EDCF平面ABCD,平面EDCF平面ABCD=CD,ED平面ABCD.以D为原点,DA所在直线为x轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),E
28、(0,0,2),F(-1,2,2).设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),BE=(-1,-2,2),AB=(0,2,0),由mBE=0,mAB=0,得-x-2y+2z=0,2y=0,取z=1,得m=(2,0,1).又DF=(-1,2,2),DFm=0,DFm.又DF平面ABE,DF平面ABE.(2)解DE=(0,0,2),DF=(-1,2,2),BE=(-1,-2,2),BF=(-2,0,2),设平面BEF的法向量为n=(x1,y1,z1),则nBE=0,nBF=0,即-x1-2y1+2z1=0,-2x1+2z1=0,取x1=1,得平面BEF的一个法向量n=1,12,1.设平面DEF的法向
29、量为p=(x2,y2,z2),则pDE=0,pDF=0,即2z2=0,-x2+2y2+2z2=0,取y2=1,得平面DEF的一个法向量p=(2,1,0).设二面角B-EF-D的平面角为,则cos=|np|n|p|=52945=53,二面角B-EF-D的正弦值sin=1-532=23.(3)解存在.假设在线段BE上存在点P,使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为66,设P(x1,y1,z1),BP=BE,则(x1-1,y1-2,z1)=(-1,-2,2),解得x1=1-,y1=2-2,z1=2,P(1-,2-2,2).由(2)知平面BEF的法向量n=1,12,1,AP=(-,2-2,2),直线AP与平面BEF所成角的正弦值为66,|nAP|n|AP|=194(-)2+(2-2)2+(2)2=66,解得=29或=23,BE=3,BP=23或BP=2.在线段BE上存在点P,使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为66,此时BP=23或BP=2.