1、3不等式31不等式的性质新课程标准解读核心素养理解不等式的概念，掌握不等式的性质数学抽象、逻辑推理清丽、优美的芭蕾舞剧睡美人序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着短裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.570.6之间设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用问题你还能列举出不等式在实际生活中的其它例子吗？知识点一实数大小比较的基本事实文字
2、叙述如果ab是正数，那么ab；如果ab等于0，那么ab；如果ab是负数，那么ab.反过来也成立在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？提示：是1设Mx2，N2x1，则M与N的大小关系是_答案：MN2如果ab，那么c2a与c2b中较大的是_答案：c2b知识点二不等式的性质性质1：如果ab，且bc，那么ac.性质2：如果ab，那么acbc.性质3：(1)如果ab，c0，那么acbc；(2)如果ab，c0，那么acbc.性质4：如果ab，cd，那么acbd.性质5：(1)如果ab0，cd0，那么acbd；(2)如果ab0，cd0，那么acbd.特殊地，当ab0时，anbn，其中nN，
3、n2.性质6：当ab0时，其中nN，n2.对不等式性质的七点说明(1)性质1(即传递性)，在它的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识；(2)性质2(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据；(3)性质3(即可乘性)，在使用时要特别注意研究“乘数的符号”；(4)性质4(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”；(5)性质5(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式；(6)性质6(即可开方性)，即均为正数的不等式可两边同时开n次方，得同向不等式；(7)性质2可双向推导，其他是
4、“单向”推导 1已知ab，cd，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是()AadbcBacbdCacbd Dacbd解析：选D令a2，b2，c3，d6，可排除A、B、C.由不等式的性质4知，D一定成立2下列命题中为真命题的是()A0aba2b2 Ba2b2ab0Cab1 Daba3b3解析：选D对于A，由0ab可知，0ab，则由性质5可知，(b)2(a)2，即b2a2，故A为假命题；对于B，性质5不具有可逆性，故B为假命题；对于C，只有当a0且ab时，1才成立，故C为假命题；对于D，因为ab，所以ab0，所以a3b3(ab)(a2abb2)(ab)0，故a3b3，D为真命题作差法比较大小
5、例1(链接教科书第25页例1)(1)设P2a(a2)3，Q(a1)(a3)，aR，则有()APQBPQCPQ DPQ(2)已知a0，b0，M，N，则()AMN BMNCMN D不能确定解析(1)PQ2a(a2)3(a1)(a3)a20，PQ.(2)易知M0，N0，M2N2()2()220，MN.答案(1)A(2)A作差法比较大小的步骤提醒上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等 跟踪训练比较下列各式的大小：(1)当x1时，比较3x3与3x2x1的大小；(2)当x，y，zR时，比较5x2y2z2与2xy4x
6、2z2的大小解：(1)3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(3x21)(x1)因为x1，所以x10，而3x210，所以(3x21)(x1)0，所以3x33x2x1.(2)因为5x2y2z2(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，所以5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy且z1时取到等号利用不等式的性质判断命题的真假例2(多选)对于实数a，b，c，下列结论正确的是()A若ab0，则B若ab0，则a2abb2C若ab，则a0，b0D若ab0，则解析A：由不等式性质6可知该结论正确B：由可得a2ab.因为所以ab
7、b2，从而有a2abb2.故该结论正确C：由，可知0.因为ab，所以ba0，于是ab0.又因为ab，所以a0，b0.故该结论正确D：依题意取a2，b1，则，2，显然.故该结论错误故选A、B、C.答案ABC利用不等式的性质判断正误的2种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性 跟踪训练1下列命题中，正确的是()A若ab，cd，则acbdB若acbc，则abC若ab，cd，则acbdD若，则ab解析：选D选项A中
8、，当ab0，cd0时，acbd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当c0时，acbc可推出ab.当c0时，acbc可推出ab，故B不正确；选项C中，由ab，cd，可得adbc，故C不正确；选项D中，式子成立，显然c0，所以c20，根据不等式的性质：不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有ab成立，故D正确故选D.2已知abc，且abc0，则下列不等式恒成立的是()Aabbc BacbcCabac Da|b|b|c解析：选C因为abc，且abc0，所以a0，cac.利用不等式的性质证明不等式例3(链接教科书第25页例2)已知cab0，求证：
9、.证明因为ab0abcaa，所以ca0.所以0ca0.又因为ab0，所以.利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 跟踪训练1已知ab，ef，c0，求证：facebc.证明：因为ab，c0，所以acbc，即acbc.又ef，即fe，所以facebc.2若bcad0，bd0，求证：.证明：bcad0，bcad，bcbdadbd，即b(cd)d(ab)又bd
10、0，0，两边同乘得，.用不等式的性质求代数式的取值范围例4已知1a3，2b5，试求下列各式的取值范围：(1)3ab；(2)2a3b1.解(1)1a3，2b5，33a9，53ab14，即3ab的取值范围为(5，14)(2)1a3，22a6.2b5，153b6，122a3b11，即2a3b1的取值范围为(12，1)母题探究1(变设问)在本例条件下，求的取值范围解：由2b5知，而1a3，即的取值范围为.2(变设问)在本例条件下，求的取值范围解：1a3，1.2b5，4b225，3b2124，即的取值范围为.利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的
11、性质进行运算，求得待求的范围；(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围 跟踪训练若1ab3，2ab4，求2a3b的取值范围解：设2a3bx(ab)y(ab)(xy)a(xy)b，则解得因为(ab)，2(ab)1，所以(ab)(ab)，即2a3b，所以2a3b的取值范围是.1设a1b1，则下列不等式中恒成立的是()A. BCa22b Dab2解析：选DA错，例如a2，b时，2，此时，；B错，例如a2，b时，2，此时，；C错，例如a，b时，a2，2b，此时，a22b；由a1，b21，得ab2.2若xR，yR，则()Ax2y22xy1 Bx2y22xy1Cx2y20，所以x2y22xy1，故选A.3已知a，bR，xa3b，ya2ba，试比较x与y的大小解：因为xya3ba2baa2(ab)ab(ab)(a21)，所以当ab时，xy0，此时xy；当ab时，xy0，此时xy；当ab时，xy0，此时xy.