1、第2课时全集与补集某学习小组学生的集合为U王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P王明，曹勇，王亮，李冰，张军问题没有获得金奖的学生有哪些？知识点一全集在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号表示全集包含所要研究的这些集合在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异知识点二补集1定义：设U是全集，A是U的一个子集(即AU)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记
2、作UA.2符号：UAx|xU，且xA3Venn图4补集的性质(1)A(UA)；(2)A(UA)；(3)UU，UU，U(UA)；(4)(UA)(UB)U(AB)；(5)(UA)(UB)U(AB)1补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围2补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的 1已知全集U0，1，2，且UA2，则A()A0B1C D0，1答案：D2设全集为U，M0，2，4，UM6，则U()A0，2，4，6 B0，2，4C6
3、 D答案：A补集的简单运算例1(链接教科书第10页例7)(1)设集合U0，1，2，3，4，5，A2，4，则UA()AB1，3，5C2，4 D0，1，3，5(2)(2021金华市检测)若全集UxR|2x2，则集合AxR|2x0的补集UA为()AxR|0x2 BxR|0x2CxR|0x2 DxR|0x2解析(1)因为集合U0，1，2，3，4，5，A2，4，所以UA0，1，3，5(2)借助数轴(如图)易得UAxR|0x2答案(1)D(2)C求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解 跟踪训练1设
4、集合UR，Mx|x2或x2，则UM()Ax|2x2 Bx|2x2Cx|x2或x2 Dx|x2或x2解析：选A如图，在数轴上表示出集合M，可知UMx|2x22设集合Mx|1x2，Nx|xk0，若RMRN，则k的取值范围是_解析：由RMRN，可知MN，则k的取值范围为k2.答案：k|k2交集、并集、补集的综合运算例2(链接教科书第10页例8)已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2(1)求AB，(UA)B，A(UB)；(2)求U(AB)和U(AB)解(1)ABx|2x2，(UA)Bx|x2或3x4，A(UB)x|2x3(2)U(AB)x|x3或3x4U(AB)x|x2或2x4 解决集合交
5、、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解在解答过程中常常借助于Venn图来求解；(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算解答过程中要注意边界问题跟踪训练1(2021台州五校高一联考)若全集U1，2，3，4，集合M1，2，N2，3，则U(MN)()A1，2，3 B2C1，3，4 D4解析：选D全集U1，2，3，4，集合M1，2，N2，3，MN1，2，3，U(MN)4故选D.2已知集合Ax|x1，Bx|1x2，则(RA)B()Ax|1x2 Bx|x1Cx|1x2
6、Dx|x1解析：选A因为集合Ax|x1，所以RAx|x1，则(RA)Bx|1x2.与补集相关的参数值的求解例3设集合Ax|xm0，Bx|2x4，全集UR，且(UA)B，求实数m的取值范围解由已知Ax|xm，得UAx|xm，因为Bx|2x4，(UA)B，所以m2，即m2，所以m的取值范围是m|m2母题探究1(变条件)本例将条件“(UA)B”改为“(UA)B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知得Ax|xm，所以UAx|x2，解得m2.故m的取值范围为m|m22(变条件)本例将条件“(UA)B”改为“(UB)AR”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知Ax|xm，UBx|
7、x2或x4又(UB)AR，所以m2，解得m2.故m的取值范围为m|m2由集合的补集求解参数的方法(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解；(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解 跟踪训练1(多选)设全集UR，集合Ax|x1或x3，集合Bx|kxk1，kR，且B(UA)，则满足条件的k的值可以是()A0B1C2D4解析：选BCUAx|1x3，若B(UA)，则k11或k3，k0或k3，因此，若B(UA)，则所求k的范围为0k3.故选B、C.2已知集合Ax|1x3，Bx|m3xm3，若ARB，则实数m的取值范围是_解析：RB
8、x|xm3或xm3，又ARB，m33或m31，m6或m4.答案：(，4)(6，)集合运算中的元素个数问题(链接教科书第12页阅读材料)在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、并、补如果用card表示有限集中元素的个数，即card(A)表示有限集合A中元素的个数，则有如下结论：(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)；(2)card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(AC)card(BC)card(ABC)问题探究1对于上述结论(1)能用Venn图解释吗？提示：如图所示，设表示A中
9、不含AB的区域里的元素个数；表示B中不含AB的区域里的元素个数；表示AB区域里的元素个数则card(AB)表示A和B区域里一共有的不同元素的个数，即card(AB)；card(A)表示集合A的区域里的元素个数，即card(A)；card(B)表示集合B的区域里的元素个数，即card(B).注意到card(A)card(B)card(AB)()()card(AB)，则结论(1)得证2试用问题探究1的方法给出结论(2)的证明提示：对于结论(2)，如图所示，card(ABC)表示A，B，C中所含不同元素的总个数，而card(A)card(B)card(C)中AB，AC，BC区域里的元素个数分别出现两
10、次，故应分别减去一次又card(ABC)在card(AB)，card(AC)，card(BC)中各出现一次，即出现三次，但又已被减去三次，故需再加上故有结论：card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(AC)card(BC)card(ABC)迁移应用1(2021太湖中学段考)向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的多1人则对A，B都不赞成的学生的人数为_解析：设50名学生为全集I，则赞成A的人数为5030，
11、赞成B的人数为30333.设对A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为1，赞成A不赞成B的人数为30x，赞成B不赞成A的人数为33x，如图所示，所以由题意得(30x)(33x)x150，解得x21，则18.所以对A，B都不赞成的学生的人数为8.答案：82某市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500位市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人(假定只有这两种报纸)试问：(1)只订日报不订晚报的有多少人？(2)只订晚报不订日报的有多少人？(3)至少订一种报纸的有多少人？(4)有多少人不订报纸？解：设Ix|x是抽样
12、调查的500位市民，Ax|x是订阅日报的人，Bx|x是订阅晚报的人，则card(AB)150，card(I)500，card(A)334，card(B)297.用Venn图表示如图所示(1)A(IB)x|x是只订日报不订晚报的人，则card(A(IB)334150184.(2)B(IA)x|x是只订晚报不订日报的人，则card(B(IA)297150147.(3)ABx|x是至少订一种报纸的人，则card(AB)334297150481.(4)I(AB)x|x是不订报纸的人，则card(I(AB)50048119.1设全集U1，2，3，4，5，A1，2，3，B2，3，4，则U(AB)等于()A
13、2，3B1，4，5C4，5 D1，5解析：选BAB2，3，U(AB)1，4，52设全集UR，集合Ax|0x9，BxZ|4x4，则集合(UA)B中的元素的个数为()A3 B4C5 D6解析：选BUR，Ax|0x9，UAx|x0或x9又BxZ|4x4，(UA)BxZ|4x03，2，1，0共4个元素3已知全集UR，集合Ax|2x3，Bx|x1或x4，那么集合A(UB)等于()Ax|2x4 Bx|x3或x4Cx|2x1 Dx|1x3解析：选D由题意可得，UBx|1x4，又因为Ax|2x3，所以A(UB)x|1x34(2021重庆南岸区高一月考)如图，设全集UR，M(，1，N(，0(2，)，则图中阴影部分表示的集合为()A1，2 B1，2)C(1，2 D(1，2)解析：选C阴影部分表示的集合为U(MN)，M(，1，N(，0(2，)，MN(，1(2，)，又全集UR，U(MN)(1，2故选C.5已知集合Ax|xa，Bx|1x2，A(RB)R，则实数a的取值范围是_解析：因为RBx|x1或x2，又Ax|xa，观察RB，A在数轴上所表示的区间，如图所示，可知当a2时，A(RB)R.答案：a|a2