1、第五节二次函数与幂函数1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)常见的5种幂函数的图象排列特点：第一象限内，在直线x1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点三点注意：(1)当0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于yx1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；(2)当01时，函数图象倾向x轴，类似于yx的图象；(3)当1时，函数图象倾向y轴，类似于yx3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大.(3)幂函数的性质幂函数在(0，
2、)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减对于形如f(x)x(其中mN*，nZ，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x0(或x0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)2二次函数(1)二次函数解析式的3种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(
3、a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象和性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x顶点坐标奇偶性当b0时是偶函数，当b0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数 熟记常用结论关于二次函数的几个常用结论(1)关于函数f(x)a(xh)2k(a0)，xp，q的最值问题若hp，q，则xh时有最小值k，最大值是f(p)与f(q)中较大者；若hp，q，则f(p)，f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值(2)根的分布问题设函数yax2bxc(a0)，若对区间a，b有f(a)0，f(b)0，则曲线必与x轴相交(至
4、少有一个交点，且交点必在a，b上)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根，根的分布对照yax2bxc(a0)的图象，知其等价不等式组的关系是：若x1x2m，则若mx1x2，则若x1mx2，则若x1，x2(m1，m2)，则若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内，则小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)函数y2x是幂函数()(2)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()(5)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标
5、系中的开口大小()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、选填题1已知幂函数yf(x)的图象经过点，则f(2)()A.B4C. D.解析：选C设f(x)x，图象过点，f(4)4，解得，f(2)2.故选C.2若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是()Adcba BabcdCdcab Dabdc解析：选B根据幂函数的性质及图象知选B.3已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，解得a.4函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，
6、则实数m的值为_解析：f(x)(m2m1)xm是幂函数，m2m11，解得m1或m2.又f(x)在(0，)上为增函数，m2.答案：25已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)4x2mx5的单调递增区间为，所以2，即m16.答案：(，16考点一基础自学过关 幂函数的图象与性质 题组练透1已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)f(1)()A3B1C.1 D1解析：选C设幂函数f(x)x，则f(9)93，即，所以f(x)x，所以f(2)f(1)1，故选C.2当x(0，)时，幂函数y(m2m1)x5m3为减函数，则实数m的值为()A2 B1C
7、1或2 Dm解析：选B因为函数y(m2m1)x5m3既是幂函数又是(0，)上的减函数，所以解得m1.3.幂函数yx (mZ)的图象如图所示，则m的值为()A1 B0C1 D2解析：选C从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m22m30，即1m3；又从图象看，函数是偶函数，故m22m3为负偶数，将m0,1,2分别代入，可知当m1时，m22m34，满足要求4已知a3，b4，c12，则a，b，c的大小关系为()Abac BabcCcba Dcab解析：选C因为a81，b16，c12，由幂函数yx在(0，)上为增函数，知abc，故选C.5若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：易
8、知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a.答案：名师微点(1)幂函数yx的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当0时，第一象限图象是上坡递增；当0时，第一象限图象是下坡递减然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键考点二师生共研过关 求二次函数的解析式 典例精析已知二次函数f(x)满足f(2)1，f
9、(1)1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式解法一：(利用二次函数的一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得故所求二次函数为f(x)4x24x7.法二：(利用二次函数的顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线对称轴为x.m，又根据题意函数有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三：(利用二次函数的零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函数解析式为f(x
10、)4x24x7.解题技法求二次函数解析式的策略过关训练1已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)4f(2)16，则函数f(x)的解析式为_解析：由题意可设函数f(x)ax2c(a0)，则f(4)16ac16,4f(2)4(4ac)16a4c16，所以a1，c0，故f(x)x2.答案：f(x)x22已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.解析：设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，又f(x)ax2bx1，所以a1，故f(x)x22x1.答案：x22x13已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的
11、线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解：f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.考点三全析考法过关 二次函数的性质及应用 考法全析考法(一)二次函数的单调性问题例1(1)已知函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0)B(，3C2,0 D3,0(2)函数f(x)x2
12、bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx) D与x有关，不确定解析(1)当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0(2)由题意知，函数f(x)的图象关于直线x1对称，b2，又f(0)3，c3，则bx2x，cx3x.易知f(x)在(，1)上单调递减，在1，)上单调递增若x0，则3x2x1，f(3x)f(2x)；若x0，则3x2x1，f(3x)f(2x)f(3x)f(2x)，即f(bx)
13、f(cx)故选A.答案(1)D(2)A考法(二)二次函数的最值问题例2若函数f(x)ax22ax1在1,2上有最大值4，则a的值为_解析f(x)a(x1)21a.当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)3a14，解得a1，不符合题意，舍去综上可知，a的值为.答案考法(三)二次函数中的恒成立问题例3已知函数f(x)x2x1，在区间1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_解析f(x)2xm等价于x2x12xm，
14、即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)答案(，1)规律探求看个性考法(一)是研究二次函数的单调性问题，二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论考法(二)是研究二次函数的最值问题对于含参数的二次函数最值问题，无论对称轴还是区间含有参数，都把对称轴看作静止不动的参照物，即“动兮定兮对称轴，看作静止参照物”，然后
15、利用十字法求解即可考法(三)是考法(一)和考法(二)的逆运用，最终转化为最值问题求解找共性解决二次函数性质问题应注意的两个关键(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，要注意分类讨论(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题 过关训练1口诀第1、2、3句若二次函数ykx24x2在区间1,2上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()A2，) B(2，)C(，0) D(，2)解析：选A二次函数ykx24x2的对称轴为x，当k0时，要使函数ykx24x2在区间1,2上是增函数，只需1，解得k2.当k0时，0，此时抛物线的对称轴在区间1,2的左侧，该函数ykx24x
16、2在区间1,2上是减函数，不符合要求综上可得实数k的取值范围是2，)2口诀第1、2句已知yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()A. B.C. D1解析：选D设x0，则x0.有f(x)(x1)2(x1)2，又f(x)f(x)，当x0时，f(x)(x1)2，该函数在上的最大值为1，最小值为0，依题意，nf(x)m恒成立，则n0，m1，即mn1，故mn的最小值为1.3口诀第4、5句设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值解：f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f(t1)t21；当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.综上可知，f(x)min
