1、第五节直接证明与间接证明1直接证明综合法、分析法内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果(顺推证法)执果索因(逆推证法)框图表示P表示已知条件、已有的数学定义、公理、定理、性质等，Q表示所要证明的结论文字语言因为，所以，或由得，或“”要证(欲证)，只需证，即证2间接证明反证法要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推
2、理，最后得出矛盾，因此说明非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法,(1)分析法的特点当命题不知从何入手时，可以运用分析法来解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效分析法证明过程不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件 (2)应用反证法证题注意事项应用反证法证题时，必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法(3)一些常见词语的否定正面词语否定正面词语否定正面词语否定等于()不等于()不是是任意的某些大于()不大于(小于或等于“”
3、)都是不都是(至少有一个不是)所有的某个小于()不小于(大于或等于“”)至多有一个至少有两个且或全为不全为至少有一个一个也没有或且小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题1命题“对任意角，cos4sin4cos 2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”过程应用了()A分析法B综合法
4、C综合法、分析法综合使用 D间接证明法解析：选B因为证明过程是“从左往右”，即由条件结论，故选B.2要证a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20 Ba2b210C.1a2b20 D(a21)(b21)0解析：选Da2b21a2b20(a21)(b21)0.3用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”，假设正确的是()A假设三个内角都不大于60B假设三个内角都大于60C假设三个内角至多有一个大于60D假设三个内角至多有两个大于60解析：选B根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60.故选B.4若，成等比数列，则logx_.解析：由题意得()2
5、，所以，所以x.设logxy，即y2，所以y2，即logx2.答案：25.2与的大小关系是_解析：假设2，由分析法可得，要证 2，只需证 2，即证132134，即2.因为4240，所以2成立答案：2考点一综合法的应用师生共研过关典例精析数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明.解(1)证明：an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知2n1，Snn2.法一：1.法二：1，又1，.解题技法掌握综合法证明问题的思路过关训练已知a，b，c都为正实数，abc1.求证：(1)；(2).证明：(1)()2(abc)222(
6、abc)(ab)(bc)(ca)3，当且仅当abc时，等号成立(2)a0，3a10，(3a1)2 4，当且仅当3a1，即a时取“”33a，同理得33b，33c，以上三式相加得493(abc)6，当且仅当abc时取“”考点二分析法的应用师生共研过关 典例精析若ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3，也就是证1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立解题技法1利用分析
7、法证明问题的思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证2分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法过关训练1已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：要证明2a3b32ab2a2b，只需证2a3b32ab2a2b0，即证2a(a2b2)b(a2b2)0，即证(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab
8、)0成立，2a3b32ab2a2b.2已知a0，求证： a2.证明：要证 a2，只要证 2a.因为a0，故只要证22，即证a24 4a2222，从而只要证2 ，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立考点三反证法的应用师生共研过关 典例精析已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列解(1)当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1
9、，ar1(pqr，且p，q，rN*)，则2，所以22rq2rp1.(*)又因为pqr，所以rqN*，rpN*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不等立所以假设不成立，原命题得证解题技法用反证法证明数学命题需把握的3点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的过关训练1已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设错误所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.2已知f(x)ln(1ex)mx(xR)，对于给定区间(a，b)，存在x0(a，b)，使得f(x0)成立，求证：x0唯一证明：假设存在x0(a，b)，x0(a，b)，且x0x0，使得f(x0)，f(x0)成立，即f(x0)f(x0)因为f(x)m，记g(x)f(x)，所以g(x)0，f(x)是(a，b)上的单调递增函数所以x0x0，这与x0x0矛盾，所以x0是唯一的