1、专题突破练17空间中的平行、垂直与空间角1.(2020海南海南中学月考,18)已知直四棱柱ABCD-ABCD,四边形ABCD为正方形,AA=2AB=2,E为棱CC的中点.(1)求三棱锥C-ABD的体积;(2)求证:AEBD;(3)求异面直线DE与AB所成角的余弦值.2.(2020海南海口模拟,19)如图,在三棱锥D-ABC中,ABAC,ABD是正三角形,且平面ABD平面ABC,AB=AC=4,E,G分别为AB,BC的中点.(1)证明:EG平面ABD;(2)若F是线段DE的中点,求AC与平面FGC所成角的正弦值.3.(2020山东潍坊三模,18)如图,点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A,B)
2、,已知AB=2,AE=7,EB平面ABC,四边形BEDC为平行四边形.(1)求证:BC平面ACD;(2)当三棱锥A-BCE的体积最大时,求平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值.4.(2020山东日照二模,19)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN平面PCD;(2)若直线PB与平面ABCD所成角的余弦值为255,求二面角N-DM-C的余弦值.5.(2020山东青岛一模,19)在如图所示的四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BCE为边长为2的等边三角形,AB=AE,F,O分别为AB
3、,BE的中点,OF是异面直线AB和OC的公垂线.(1)证明:平面ABE平面BCE;(2)记CED的重心为G,求直线AG与平面ABCD所成角的正弦值.6.(2020天津,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.(1)求证:C1MB1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.7.(2020山东潍坊一中月考,19)在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为长方形,SB底面ABCD,其中BS=2,BA=2,BC=,的可能取
4、值为=14,=12,=32,=32,=3.(1)求直线AS与平面ABCD所成角的正弦值;(2)若在线段CD上能找到点E,满足AESE,则可能的取值有几种情况?请说明理由;(3)在(2)的条件下,当为所有可能情况的最大值时,线段CD上满足AESE的点有两个,分别记为E1,E2,求二面角E1-SB-E2的大小.专题突破练17空间中的平行、垂直与空间角1.(1)解四棱柱ABCD-ABCD为直四棱柱,AA平面ABCD,又AA=2,BC=CD=1,VC-ABD=VA-BCD=13SBCDAA=1312112=13.(2)证明以D为原点,DA,DC,DD所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间
5、直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),E(0,1,1),A(1,0,2),AE=(-1,1,-1),DB=(1,1,0),AEDB=-1+1=0,AEBD.(3)解由(2)得,DE=(0,1,1),AB=(0,1,-2),|cos|=|DEAB|DE|AB|=125=1010,即异面直线DE与AB所成角的余弦值为1010.2.(1)证明因为E,G分别为AB,BC的中点,所以EGAC.因为ABAC,平面ABD平面ABC,平面ABD平面ABC=AB,所以AC平面ABD,所以EG平面ABD.(2)解因为ABD是正三角形,所以DEAB.由(1)知EG平面ABD,所以EG,AB,DE两两垂直
6、,则以E为坐标原点,分别以EB,EG,ED的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.因为AB=AC=4,ABD是正三角形,所以E(0,0,0),A(-2,0,0),B(2,0,0),G(0,2,0),D(0,0,23),C(-2,4,0).因为F是DE的中点,所以F(0,0,3).AC=(0,4,0),FG=(0,2,-3),GC=(-2,2,0).设平面FGC的法向量为m=(x,y,z),所以mFG=0,mGC=0,即2y-3z=0,-2x+2y=0,令x=1,则y=1,z=233,所以平面FGC的一个法向量m=1,1,233.设AC与平面FGC所成的角为,则s
7、in=|cos|=|mAC|m|AC|=441+1+43=3010.3.(1)证明因为四边形BEDC为平行四边形,所以CDBE.因为EB平面ABC,所以CD平面ABC,所以CDBC.因为ACB是以AB为直径的圆上的圆周角,所以BCAC.又因为ACCD=C,所以BC平面ACD.(2)解在ABC中,设AC=x,BC=4-x2(0x2),所以SABC=12ACBC=12x4-x2.因为AE=7,AB=2,所以BE=3.所以VA-BCE=VE-ABC=13SABCBE=36x4-x2=36x2(4-x2)36x2+4-x22=33,当且仅当x2=4-x2,即x=2时,等号成立.故三棱锥A-BCE体积的
8、最大值为33.以C为坐标原点,以CA,CB,CD为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,则C(0,0,0),A(2,0,0),D(0,0,3),E(0,2,3),所以AD=(-2,0,3),DE=(0,2,0).易知平面ABC的一个法向量n1=(0,0,3).设平面ADE的法向量n2=(x,y,z),可得n2AD=0,n2DE=0,所以-2x+3z=0,2y=0,令x=3,可得平面ADE的一个法向量n2=(3,0,2),所以cos=n1n2|n1|n2|=635=105.4.(1)证明取PD中点E,连接EN,AE.因为M,N,E分别为AB,PC,PD的中点,所以ENAM,EN=AM=12
9、AB,所以四边形AMNE是平行四边形,故MNAE.因为PA平面ABCD,所以PACD.又因为CDAD,ADPA=A,所以CD平面PAD,所以平面PCD平面PAD.因为PA=AD,E为中点,所以AEPD,所以AE平面PCD,所以MN平面PCD.(2)解因为PA平面ABCD,所以PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角,所以cosPBA=255,所以sinPBA=55.因为PA=AD=2,AB=4,分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,2,0),M(2,0,0),C(4,2,0),P(0,0,2),N(2,1,1),则DM=(2,-2,0),MN=(0,1
10、,1).设平面NDM的法向量n1=(x,y,z),则n1DM=0,n1MN=0,即2x-2y=0,y+z=0,取x=1,则y=1,z=-1,即平面NDM的一个法向量n1=(1,1,-1).易得平面DMC的一个法向量n2=(0,0,1),所以cos=n1n2|n1|n2|=-33,由图可知,二面角N-DM-C为锐角,所以二面角N-DM-C的余弦值为33.5.(1)证明因为O为BE的中点,所以在等边BCE中,OCBE.又因为OF是异面直线AB和OC的公垂线,所以OCOF.又因为OFBE=O,所以OC平面ABE.因为OC平面BCE,所以平面ABE平面BCE.(2)解因为F,O分别为AB,BE的中点,
11、所以OFAE.又因为OF是异面直线AB和OC的公垂线,所以OFAB,AEAB,所以ABE为等腰直角三角形.连接AO,AB=AE=2,OA=1,因为OABE,OA平面ABE,平面ABE平面BCE,且平面ABE平面BCE=BE,所以OA平面BCE.以O为原点,分别以OE,OC,OA所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,1),B(-1,0,0),C(0,3,0),E(1,0,0).因为四边形ABCD为平行四边形,设D(x0,y0,z0),因为BC=AD,所以(1,3,0)=(x0,y0,z0-1),所以D(1,3,1).设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),B
12、A=(1,0,1),BC=(1,3,0),则nBA=0,nBC=0,即x+z=0,x+3y=0,令y=-1,则x=3,z=-3,所以平面ABCD的一个法向量n=(3,-1,-3).因为C(0,3,0),E(1,0,0),D(1,3,1),所以CDE的重心G的坐标为23,233,13,AG=23,233,-23,设直线AG与平面ABCD所成角为,则sin=|cos|=nAG|n|AG|=2337253=10535.6.解依题意,以C为原点,分别以CA,CB,CC1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3
13、),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1)证明:依题意,C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),从而C1MB1D=2-2+0=0,所以C1MB1D.(2)依题意,CA=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面DB1E的法向量,则nEB1=0,nED=0,即2y+z=0,2x-z=0.不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos=CAn|CA|n|=66,于是sin=306.所以,二面角B-B1E-D的正弦值为306.(3)依题意,AB=(
14、-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cos=ABn|AB|n|=-33.所以,直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为33.7.解(1)因为SB底面ABCD,所以SAB即为直线AS与平面ABCD所成的角,在RtSBA中,sinSAB=SBSA=22.(2)以B为坐标原点,以BC,BA,BS的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(0,2,0),D(,2,0),S(0,0,2).设E(,x,0)(0x2),所以SE=(,x,-2),EA=(-,2-x,0).由SEEA可得-2+x(2-x)=0,解得2=x(2-x).因为x0,2,所以2=x(2-x)0,1,所以在所给的数据中,可以取.(3)由(2)知=32,此时,x=12或x=32,即满足条件的点E有两个,根据题意得,其坐标为E132,12,0和E232,32,0.因为SB平面ABCD,所以SBBE1,SBBE2,所以E1BE2是二面角E1-SB-E2的平面角.由cos=BE1BE2|BE1|BE2|=34+3413=32,由题意得二面角E1-SB-E2为锐角,所以二面角E1-SB-E2的大小为30.
