1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2章函数第1课时函数的概念和图象(1) 教学过程一、 问题情境在现实生活中,我们可能会遇到下列问题:1. 估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国19491999年人口数据资料如下表所示,你能根据该表说出我国人口的变化情况吗?年份194919541959196419691974人口数/百万542603672705807909年份19791984198919941999人口数/百万97510351107117712462. 一物体从静止开始下落,下落的距离y(单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9
2、x2.若一物体下落2s,你能求出它下落的距离吗?3. 图1为某市一天24小时内的气温变化图.(图1)(1) 上午6时的气温约是多少?全天的最高气温、最低气温分别是多少?(2) 在什么时刻,气温为0?(3) 在什么时段内,气温在0以上?二、 数学建构(一) 生成概念问题1用怎样的模型来刻画上述问题中两个变量之间的关系?问题2如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点?(每一个问题都涉及两个非空数集A, B;存在某个对应法则,对于A中任意元素x,在B中总有一个元素与之对应)函数的定义:设A, B是两个非空数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那
3、么这样的对应叫做从A到B的一个函数,记为y=f(x), xA.其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,所有的输出值y组成的集合叫做函数y=f(x)的值域.(二) 理解概念1. 集合A和集合B都是非空数集.2. 对应法则的方向是从A到B.3. “每一个”:对于集合A中的每一个元素,集合B中都有元素和它对应;“唯一”:对于集合A中的每一个元素,集合B中都是唯一的元素和它对应.4. 函数是从一个非空数集到另一个非空数集的单值对应.5. f(x)是一个抽象的符号,是对函数概念的深化,可以理解成对应法则f对自变量x的作用.(三) 巩固概念问题3函数的构成要素是什么?(三要素:定义域、
4、值域、对应法则)三、 数学运用【例1】(教材P25例1)判断下列对应是否为函数:(1) x, x0, xR;(2) xy,这里y2=x, xN, yR.(见学生用书课堂本P1112)处理建议首先要弄清楚怎样判定一个对应是否是函数;注意函数定义中的“非空”、“每一个”和“唯一”等词.规范板书解(1) 对于任意一个非零实数x, 被x唯一确定,所以当x0时x是函数,这个函数也可以表示为f(x)=(x0). (2) 考虑输入值为4,即当x=4时输出值y由y2=4给出,得y=2和y=-2.这里一个输入值和两个输出值对应(不是单值对应),所以xy(y2=x)不是函数.题后反思解本题的关键是抓住函数的定义,
5、在定义的基础上输入一些数字进行验证,当不是函数时,只要列举出集合A中的一个x即可.变式判断下列对应是否为从A到B的函数:A=B=N*,对任意的xA, x|x-3|.规范板书解考虑输入值为3时,即当x=3时输出值y由y=|x-3|给出,得y=0.这里一个输入值没有输出值与之对应,所以x|x-3|(y=|x-3|)不是函数.【例2】求下列函数的定义域:(1) f(x)=;(2) g(x)=.(见学生用书课堂本P12)处理建议求函数y=f(x)的定义域时通常有以下几种情况: 如果f(x)是整式,那么函数的定义域是R; 如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合; 如果f(x)为
6、二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合; 如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各个部分的式子都有意义的实数的集合.规范板书解(1) 当2x-10时,即x时,在实数范围内有意义;当2x-10时,即x时,在实数范围内没有意义.因此,这个函数的定义域是.(2) 当2x+10时,即x-时,有意义;当2x+1=0时,即x=-时,没有意义.因此,这个函数的定义域是.题后反思函数定义域的求解关键在于根据函数解析式的特点列出不等式组.变式求下列函数的定义域:(1) f(x)=;(2) f(x)=-1;(3) f(x)=+.规范板书解(1) 由题意可得解得
7、这个函数的定义域是(-4, -2)(-2, +).(2) 由题意可得解得-3x1. 这个函数的定义域是-3, 1.(3) 由题意可得解得x -1且x3. 这个函数的定义域是-1, 3)(3, +).【例3】试判断下列各组函数是否表示同一函数:(1) f(x)=, g(x)=;(2) f(x)=, g(x)=(见学生用书课堂本P12)处理建议对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若定义域、值域、对应法则有一个不相同时,则y=f(x)和y=g(x)就不是同一函数.规范板书解(1) 因为f(x)=|x|, g(
8、x)=x,所以它们不是同一函数.(2) 因为函数f(x)=的定义域为(-, 0)(0, +),而函数g(x)=的定义域为R,所以它们不是同一函数.题后反思若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然.变式试判断函数f(x)=x2-2x-1和g(t)=t2-2t-1是否表示同一函数.规范板书解这两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.题后反思该变式易错判断成它们是不同的函数,原因在于对函数的概念理解不透.要知道,在函数的定义域及对应法则f不变的条件下,自变量变换字母,甚至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f(x)=x2+1, f(t)=t2+1,
9、f(u+1)=(u+1)2+1都可视为同一函数.*【例4】求下列函数的值域:(1) f(x)=(x-2)2+3, x-1, 0, 1, 2, 3;(2) f(x)=(x-2)2+3.处理建议引导学生从定义域的不同进行分析.规范板书解(1) 函数f(x)的定义域为-1, 0, 1, 2, 3, 函数f(x)的值域为3, 4, 7, 12.(2) 函数f(x)的定义域为R,(x-2)2+33, 函数f(x)的值域为3, +).题后反思对应法则相同的函数,不一定是同一函数.变式函数y=与y=3x是不是同一个函数?为什么?规范板书解它们不是同一函数,因为这两个函数的定义域不同.四、 课堂练习1. 已知集合A=x|0x6, B=y|0y3,给定下列从A到B的三个对应: xy=x ; xy=x; xy=x.其中是函数的对应为.(填序号)提示利用函数的定义可得.2. 函数f(x)=的定义域为x-2且x2.提示由-20可得x-2且x2.3. 函数f(x)=+的定义域为.提示由可得x=1.4. 函数f(x)=x-1(xZ且x-1, 4)的值域为.提示由xZ且x-1, 4,可得x=-1, 0, 1, 2, 3, 4,再代入函数解析式即可.五、 课堂小结本节课学习了函数的概念及其三要素.高考资源网版权所有，侵权必究！