1、1(2019济南市模拟考试)已知函数f(x)(x1)2xln x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1ae，试判断f(x)的零点个数解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x1)1，令f(x)0，则x11，x2，若a1，则f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数若0a1，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)是增函数，当x时，f(x)0.f(x)是增函数若a1，则00，f(x)是增函数，当x时，f(x)0，f(x)是增函数综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上是增函数；当0a1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，)上是增函数(2)当1ae时，f(x
2、)在上是增函数，在上是减函数，在(1，)上是增函数，所以f(x)的极小值为f(1)10，所以g(a)在(1，e)上是增函数，所以g(a)g(e)294ln 4ln 40，所以存在x0(1，4)，使f(x0)0，所以当1ae时，f(x)有且只有一个零点2(2019南昌市第一次模拟测试)已知函数f(x)ex(ln xaxab)(e为自然对数的底数)，a，bR，直线yx是曲线yf(x)在x1处的切线(1)求a，b的值；(2)是否存在kZ，使得yf(x)在(k，k1)上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)ex(ln xaxb)，f(x)的定义域为(0，)由已知，得即，
3、解得a1，b.(2)由(1)知，f(x)ex，则f(x)ex，令g(x)ln xx，则g(x)0，g(2)ln 210，即f(x)0，当x(x0，)时，g(x)0，即f(x)0.所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减又当x0时，f(x)0，f(2)e2(ln 2)0，f(e)ee0，f(x)在(，)上单调递增当b0时，若xln(b)，则f(x)0，f(x)在ln (b)，)上单调递增；若xln (b)，则f(x)0，f(x)在(，ln (b)上单调递减(2)令g(x)exbx1ln x，则g(x)exb，易知g(x)单调递增且一定有大于0的零点，设g(x)大于0的零点为x
4、0，则g(x0)0，即eb0，be.方程f(x)ln x有两个实数根，即g(x)有两个零点，则需满足g(x0)0，即ebx01ln x0ex01ln x0eex0ln x00)，则h(x)exx0，所以h(x)在(0，)上单调递减，h(1)0，所以eex0ln x00的解集为(1，)，所以be1e.当bxbxln x，有g(eb)ebbebln eb(b1)ebb，令G(x)(x1)exx(x1)(ex1)1，x1e，所以x12e0，0ex0，所以g(eb)0，故g(eb)g(x0)0.综上，b的取值范围是(，1e)4已知函数f(x)x2aln x.(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)ln xbxcx2，若函数f(x)的两个极值点x1，x2(x11，令f(x)0得x1a，x2a.当x(0，a)(a，)时，f(x)0.所以当a1时，f(x)的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间；当a1时，f(x)的单调递减区间为(0，a)，(a，)；单调递增区间为(a，a)(2)由(1)知，a1且x1x22a，x1x21.又g(x)b2cx，所以g()bc(x1x2)，由g(x1)g(x2)0得ln c(xx)b(x1x2)，所以y(x1x2)g()b(x1x2)c(xx)lnln.令t(0，1)，则yln t，所以y1，故实数a的取值范围是，)
