1、物体受力分析动态平衡问题一、考点精析 所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态中解决动态平衡问题的关键是抓住不变量,依据不变量来确定其他量的变化规律,常用的分析方法有三角形图解法、相似三角形法、作辅助圆法、解析法、 方法一：三角形图解法。三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而
2、又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。 方法二：相似三角形法。相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题。先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。 方法三：作辅助圆法。作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：物体所
3、受的三个力中，开始时两个力的夹角为90，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变。物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。
4、方法四：解析法。解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题。先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系。当受力动态变化是，抓住绳长不变，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。二、经典考题例1如图22所示水平放置的粗糙的长木板上放置一个物体m，当用于缓慢抬起一端时，木板受到的压力和摩擦力将怎样变化？【解析】以物体为研究对象，如图23物体受重力、摩擦力、支持力。物体在缓慢抬起过程中先静止后滑动。静
5、止时可以依据错解一中的解法，可知增加，静摩擦力增加。当物体在斜面上滑动时，可以同错解二中的方法，据f=N，分析N的变化，知f滑的变化。增加，滑动摩擦力减小。在整个缓慢抬起过程中y方向的方程关系不变。依据错解中式知压力一直减小。所以抬起木板的过程中，摩擦力的变化是先增加后减小。压力一直减小。【点拨】物理问题中有一些变化过程，不是单调变化的。在平衡问题中可算是一类问题，这类问题应抓住研究变量与不变量的关系。可从受力分析入手，列平衡方程找关系，也可以利用图解，用矢量三角形法则解决问题。如此题物体在未滑动时，处于平衡状态，加速度为零。所受三个力围成一闭合三角形。如图24。类似问题如图25用绳将球挂在光
6、滑的墙面上，绳子变短时，绳的拉力和球对墙的压力将如何变化。从对应的矢量三角形图26不难看出，当绳子变短时，角增大，N增大，T变大。图27在AC绳上悬挂一重物G，在AC绳的中部O点系一绳BO，以水平力F牵动绳BO，保持AO方向不变，使BO绳沿虚线所示方向缓缓向上移动。在这过程中，力F和AO绳上的拉力变化情况怎样？用矢量三角形（如图28）可以看出T变小，F先变小后变大。这类题的特点是三个共点力平衡，通常其中一个力大小、方向均不变，另一个力方向不变，大小变，第三个力大小、方向均改变。还有时是一个力大小、方向不变，另一个力大小不变，方向变，第三个力大小、方向都改变。例2.如图1所示，一个重力G的匀质球
7、放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？【解析】：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F2。由此可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。例3一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO
8、上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2-1所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是( )AFN先减小，后增大 B.FN始终不变CF先减小，后增大 D.F始终不变【解析】取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图2-2所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，利用相似三角形对应边成比例可得：(如图2-2所示，设AO高为H，BO
9、长为L，绳长l,)，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小。正确答案为选项B例4 如图220，用绳AC和 BC吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30和60，AC绳能承受的最大的拉力为150N，而BC绳能承受的最大的拉力为100N，求物体最大重力不能超过多少？【解析】以重物为研究对象。重物受力如图2-21，重物静止，加速度为零。据牛顿第二定律列方程TACsin30-TBCsin60=0 TACcos30+TBCcos60-G=0 而当TAC=150N时，TBC=86.6100N将TAC=150N，TBC=86.6N代入式解得G=173.32N。所以重物的最大重力不能超过1
10、73.2N。例5、如图3-1所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针转过90，且保持两绳之间的夹角不变，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA的拉力为F1，绳OB的拉力为F2，则（ ）。(A)F1先减小后增大(B)F1先增大后减小 (C)F2逐渐减小 (D)F2最终变为零【解析】取绳子结点O为研究对角，受到三根绳的拉力，如图3-2所示分别为F1、F2、F3，将三力构成矢量三角形(如图3-3所示的实线三角形CDE)，需满足力F3大小、方向不变，角 CDE不变(因为角不变)，由于角DCE为直角，则三力的几何关系可以从以DE边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图3-3中一画
11、出的一系列虚线表示的三角形。由此可知，F1先增大后减小，F2随始终减小，且转过90时，当好为零。正确答案选项为B、C、D例6 如图2-17物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上。A，B质量分别为mA=6kg， mB=2kg，A，B之间的动摩擦因数=0.2，开始时F=10N，此后逐渐增加，在增大到45N的过程中，则 A当拉力F12N时，两物体均保持静止状态B两物体开始没有相对运动，当拉力超过12N时，开始相对滑动C两物体间从受力开始就有相对运动D两物体间始终没有相对运动【解析】 首先以A，B整体为研究对象。受力如图2-18，在水平方向只受拉力F，根据牛顿第二定律列方程F=(mA+mB)a 再以
12、B为研究对象，如图2-19，B水平方向受摩擦力f=mBa 代入式F=（6+2）6=48N由此可以看出当F48N时A，B间的摩擦力都达不到最大静摩擦力，也就是说，A，B间不会发生相对运动。所以D选项正确。例7如图4-1所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G=40N，绳长L=2.5m，OA=1.5m，求绳中张力的大小，并讨论：（1）当B点位置固定，A端缓慢左移时，绳中张力如何变化？（2）当A点位置固定，B端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？【解析】取绳子c点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图4-2所示分别为F1、F2、F3，延长绳AO交竖直墙于D点，由于是同
13、一根轻绳，可得：，BC长度等于CD，AD长度等于绳长。设角OAD为；根据三个力平衡可得： ；在三角形AOD中可知，。如果A端左移，AD变为如图43中虚线AD所示，可知AD不变，OD减小，减小，F1变大。如果B端下移，BC变为如图44虚线BC所示，可知AD、OD不变，不变，F1不变。三、巩固练习1、半径为的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面的距离为，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由到的过程中，半球对小球的支持力和绳对小球的拉力的大小变化的情况是（）、变大，变小、变小，变大、变小，先
14、变小后变大、不变，变小【解析】如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力不变，支持力，绳子的拉力一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力的大小和方向、绳子的拉力的大小和方向，所以还要利用其它条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：可得：运动过程中变小，变小。运动中各量均为定值，支持力不变。图3-2PTG2：如图3-1所示，不计重力的轻杆OP能以O为轴在竖直平面内自由转动，
15、P端挂一重物，另用一根轻绳通过滑轮系住P端，当OP和竖直方向的夹角缓慢增大时（），OP杆所受作用力的大小（ ）QOPMN图3-3A、恒定不变 B、逐渐增大C、逐渐减小 D、先增大后减小【解析】在OP杆和竖直方向夹角缓慢增大时（），结点P在一系列不同位置处于准静态平衡，以结点P为研究对象，如图3-2所示，结点P受向下的拉力G，QP绳的拉力T， OP杆的支持力，三力中，向下的拉力恒定（大小、方向均不变），绳、杆作用力大小均变，绳PQ的拉力T总沿绳PQ收缩的方向，杆OP支持力方向总是沿杆而指向杆恢复形变的方向（方向变化有依据），做出处于某一可能位置时对应的力三角形图，如图3-3所示，则表示这两个力的
16、有向线段组成的三角形与几何线段组成的三角形相似，根据相似三角形知识即可求得，由图可知，得，即不变，【答案】A3、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的处由一固定的质点，在的正上方的点用细线悬挂一质点，、两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成角，由于漏电使、两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点的拉力大小（）、变小、变大、不变、无法确定【解析】有漏电现象，减小，则漏电瞬间质点的静止状态被打破，必定向下运动。对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析有如图2-2所示，由于漏电过程缓慢进行，则任意时刻均可视为平衡状态。三力作用构成动态下的封闭三角形，而对应的实物质点、及绳墙和点构成动态封闭三角形，
17、且有如图2-3不同位置时阴影三角形的相似情况，则有如下相似比例：可得：变化过程、均为定值，所以不变。【答案】。4、如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为Nl，球对木板的压力大小为N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中AN1始终减小，N2始终增大B N1始终减小，N2始终减小C N1先增大后减小，N2始终减小D N1先增大后减小，N2先减小后增大【解析】受力分析如图所示: 重力的大小方向都不变，可知N1、N2的合力大小、方向都不变，当木板向下转动时，N1、N2变化如图所示，即N1、N2都减小，（此题采用合成法
18、）【答案】B5、绳子一端拴着一小球，另一端绕在钉子上，小球放在一光滑的大半球上静止，如图2-6-1所示由于某种原因，小球缓慢地沿球面向下移动，在此过程中，球面的支持力和绳子的拉力如何变化？【解析】本题中小球缓慢移动能看成平衡状态如图2-6-1所示，小球受到3个共点力G、FN、T作用而处于平衡状态，由G、FN、FT三力组成的力矢量三角形与三角形OAB相似设球重为G，大半球半径为R，钉子到球面最高点之距为h，此时绳子长为L，则有 所以6、如图所示，A、B两球用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细线悬于O点，A球固定在O点正下方，且O、A间的距离恰为L，此时绳子所受的拉力为F1，现把A、B间
19、的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小关系为AF1F2CF1F2D因k1、k2大小关系未知，故无法确定【解析】对小球B受力分析如图所示，由三角形相似得：同理，当换用劲度系数为k2的轻弹簧时，再用三角形相似得出：，由以上两式比较可知，F1F2mg，【答案】C7. 如图所示，用等长绝缘线分别悬挂两个质量、电量都相同的带电小球A和B，两线上端固定于同一点O.将B球固定在O点正下方当A球静止时，两悬线夹角为.在以下情况下，夹角保持不变的是(两球间万有引力不计)A同时使A球的质量和电量都减半B同时使A、B两球的质量和电量都减半C同时使两悬线长度减半D
20、同时使两球的电量都减半【解析】“相似三角形法”指的是在对物体进行受力分析（尤其是准平衡态，即动态平衡过程）时找到两个相似三角形，其中一个三角形的边长表示长度，另一个三角形的边长表示力的大小。利用相似三角形法可以判断某些力的变化情况。（三个力一个是恒力，另外两个力是变力）【答案】A8、如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为.在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态，今使木板与斜面的夹角缓慢增大至水平，在这个过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？【解析】取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力FN1，挡板支持力FN2.因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终
21、为零，将重力分解成两个力：对斜面支持力F1，对挡板压力F2，作出平行四边形，由图可见，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小.9.如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间距离为，导轨平面与水平面的夹角为。在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感强度为B。在导轨的A、C端连接一个阻值为R的电阻。一根垂直于导轨放置的金属棒，质量为，从静止开始沿导轨下滑。求棒的最大速度。（已知和导轨间的动摩擦因数为，导轨和金属棒的电阻不计） 【解析】本题的研究对象为棒，画出棒的平面受力图，如图所示：棒所受安培力F沿斜面向上，大小为 ，则棒下滑的加速度 。棒由静止开始下滑，速度不断增大，安培力F也增大，加速度减小。当=0时达到稳定状态，此后棒做匀速运动，速度达最大。 。解得棒的最大速度 。
