1、余弦函数的性质与图象(20分钟35分)1.(2020福州高一检测)下列函数中,以为最小正周期且在区间上递增的是()A.y=sin 2xB.y=-cos 2xC.y=-sin xD.y=tan 2x【解析】选B.对于A, y=sin 2x,最小正周期为T=,当-+2k2x+2k,kZ时,即-+kx+k,kZ,在内不符合题意,所以A错误;对于B,y=-cos 2x的最小正周期为T=,当2k2x+2k,kZ时,即kx+k,kZ,在内递增,所以B正确;对于C,y=-sin x的最小正周期为T=2,所以C错误;对于D,y=tan 2x的最小正周期为T=,所以D错误.【补偿训练】 下列函数中,周期为,且在
2、上递减的是()A.y=-sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选C.对A,y=-sin为偶函数,无周期;对B,y=cos=cos x,周期为2,不满足;对C,y=sin=cos 2x,周期为,且当x时递减,满足;对D,y=cos=-sin 2x,周期为,在区间上递增,不满足.2.函数y=()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】选A.定义域为R,f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.3.(2020南通高一检测)函数y=3cos的最小正周期是()A.B.C.2D.5【解析】选D.因为y=3cos,=,所以T=5.4.函数y=3
3、-2cos的最大值为_,此时自变量x的取值集合是_.【解析】当cos=-1时,ymax=3-2(-1)=5.此时x+=2k+,kZ,所以x的取值集合为x|x=3k+,kZ.答案:5x|x=3k+,kZ5.(2020苏州高一检测)将函数f(x)=cos 2x的图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(0)的值为_.【解析】将函数f(x)=cos 2x的图象上的所有点向左平移个单位长度得,g(x)=cos=cos,所以g(0)=cos=.答案:6.(2020成都高一检测)已知函数f=2cos(x+)0的图象过点.(1)求函数f的解析式,并求出f的最大值、最小值及对应的x的值;
4、(2)求f的单调递增区间.【解析】(1)因为f过点,得2cos=,cos =.因为00)的图象向右平移个单位,若所得图象与原图象重合,则f不可能等于()A.0B.1C.D.【解析】选D.由题意=k(kN*),所以=6k(kN*),因此f(x)=cos 6kx(kN*),从而f=cos(kN*),可知f不可能等于.3.函数y=ln cos x的图象是()【解析】选A.令t=cos x,则t1在恒成立,所以y=ln t0在恒成立,结合图象,可知答案为A.4.(2020长沙高一检测)函数f(x)=的图象上关于y轴对称的点共有()A.7对B.5对C.3对D.1对【解析】选B.由题意,因为y=cos x
5、关于y轴对称,所以只要找到当x0时,y=log5x与y=cos x的交点个数即可,函数图象如图所示,则共有5个交点,所以f(x)图象上关于y轴对称的点共有5对.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知曲线C:y=cos(2x+)的一条对称轴方程为x=,曲线C向左平移(0)个单位长度,得到曲线E的一个对称中心的坐标为,则的值可以为()A.B.C.D.【解析】选CD.因为直线x=是曲线C的一条对称轴.所以2+=k(kZ),又|0,故的值可以为或.6.设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是()A.f(x)的一个周期为2B.y=f(x)的图象
6、关于直线x=-对称C.f的一个零点为D.f(x)在上单调递减【解析】选ABC.由函数f(x)=cos,在A中,由余弦函数的周期性得f(x)的一个周期为2,故A正确;在B中,函数f(x)=cos的对称轴满足条件x+=k,即x=k-,kZ,所以y=f(x)的图象关于直线x=-对称,故B正确;在C中,f=cos=-sin x,-sin =0,所以f的一个零点为,故C正确;在D中,函数f(x)=cos在上先减后增,故D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020广州高一检测)已知函数f(x)=2cos(x+)-1(0,)的一个零点是x=,当x=时,函数f(x)取最大值,则当取最小值时,函数f
7、(x)在上的最大值为_.【解析】由条件可得cos=,cos=1,所以+=2k,kZ,+=2n,nZ,将两式相减可得=244,所以的最小值为4,此时=2n-,nZ,因为,所以=,所以f(x)=2cos-1,因为x,所以4x+,所以函数f(x)在上的最大值为0.答案:0【补偿训练】(2020潍坊高一检测)已知函数f=则f=_;若关于x的方程f=0在内有唯一实根,则实数a的取值范围是_.【解析】f=f=f=0,f图象如图,设f与x轴从左到右的两个交点分别为A(-1,0),B,f与f的图象是平移关系,由图可知a,即实数a的取值范围是.答案:08.函数y=cos x在区间-,a上为增函数,则a的取值范围
8、是_.【解析】因为y=cos x在-,0上是增函数,在0,上是减函数,所以只有-a0时满足条件,故a(-,0.答案:(-, 0四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f=2cos.(1)若=-,用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数f在上的图象;(2)若f为奇函数,求;(3)在(2)的前提下,将函数y=f的图象向左平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g的图象,求g在上的单调递增区间.【解析】(1)当=-时,f=2cos,列表:x0=2x-0y20-20则函数y=f在区间上的图象是:(2)因为f=2cos为奇函数,所以f=2cos =0,所
9、以=+k,kZ,因为-1时才可对冲浪者开放.所以cost+11,所以cost0.所以2k-t2k+,即12k-3t12k+3.因为0t24,故可令k分别为0,1,2,得0t3或9t15或21t24.所以在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00.1.对于函数f(x),在使f(x)M成立的所有常数M中,我们把M的最大值称为函数f(x)的“下确界”.若函数f(x)=3cos+1,x的“下确界”为-,则m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.由题意f(x)=3cos+1,x的最小值是-,又f=3cos+1=3cos+1=-,由3cos
10、+1-,得cos-,2k-2x-2k+,k-xk+,kZ.k=0时,-x,所以-m.【补偿训练】将函数f=2cos x的图象向右平移个单位,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g的图象,若g-g(x2)=4,且x1,x2,则的最大值为()A.B.C.D.【解析】选D.将函数f=2cos x的图象向右平移个单位,得到函数y=2cos的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g=2cos的图象,因为g-g=4,所以g=2,g=-2(振幅为2),所以2x1-=2k1,所以x1=+k1(k1Z),因为-2+k12,所以-k1,k1=-2,-1,0,1,2x2-=2k2+,x2=+k2,k2Z,-2+k22,所以-k2,k2=-2,-1,0,1.当k1=1,k2=-2时,=;当k1=-2,k2=1时,=.所以=.2.已知f=cos,则f+f+f=_.【解析】由题意,求值f(1)=cos=,f(2)=cos=-,f(3)=cos =-1,f(4)=cos=-,f(5)=cos=,f(6)=cos 2=1,f(7)=cos=cos=,可知f(n)的值具有周期性,T=6则原式=336+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=+(-1)+=-.答案:-
