1、模块素养评价(二)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.已知=-,则下列4个角中与角终边相同的是()A.B.C.D.-【解析】选C.与=-终边相同的角的集合为|=-+2k,kZ.取k=6时,=.所以与角终边相同的是. 2.已知=(-3,-2),=(m,1),|=3,则=()A.7B.-7C.15D.-15【解析】选B.=(-3,-2),=(m,1),|=3,可得:=(m+3,3),所以:(m+3)2+9=9,所以m=-3.所以=(-3,1),则=(3,2)(-3,1)=-7.3.(2020青岛高一检测)在边长为2的菱形ABCD中,BAD=60,E是BC的中点,则=()A.
2、B.C.D.9【解析】选D.由题意ABC=120,=22cos 120=-2,=(-)(-)=(-)=-+=22-(-2)+22=9.4.(2020成都高一检测)已知cos =-,(-,0),则tan =()A.B.7C.-D.-7【解析】选C.因为cos =-,(-,0),所以,所以sin =-,tan =,则tan =-.5.已知点A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B在第二象限.记AOB=且sin =,则=()A.B.C.-D.-【解析】选C.点A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B在第二象限.记AOB=且sin =,可得.cos =-,tan =-,则=-.6.(2020南昌高一检测)设向量a
3、=与b=,且ab=,则=()A.B.C.D.【解析】选B.由于ab=,所以sin 2-cos 2=,即cos 2=-,而2,故2=,=.7.为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=cos 3x的图象()A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位【解析】选A.y=sin 3x+cos 3x=sin=sin.又y=cos 3x=sin=sin.所以应向右平移个单位.【补偿训练】若函数y=cos的图象向右平移个单位,则得到的图象所对应的函数解析式为()A.y=sin 2xB.y=cos 2xC.y=-sin 2xD.y=-cos 2x【解析】选
4、D.由题意函数 y=cos的图象向右平移个单位,即y=cos=cos (2x-)=-cos 2x.8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36的等腰三角形(另一种是顶角为108的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金ABC中,=.根据这些信息,可得sin 234=()A.B.-C.-D.-【解析】选C.由题干图可知,ACB=72,且
5、cos 72=.所以cos 144=2cos 272-1=-.则sin 234=sin (144+90)=cos 144=-.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.(2020海南高一检测)下列化简正确的是()A.cos 82sin 52-sin 82cos 52=B.sin 15sin 30sin 75=C.=-D.cos 215-sin 215=【解析】选CD.A中,cos 82sin 52-sin 82cos 52=sin =sin =-sin 30=-,则A错误;B中,sin 15sin 30sin 75=sin 15cos 15=s
6、in 30=,则B错误;C中,=tan =tan 120=-,则C正确;D中cos 215-sin 215=cos 30=,则D正确.10.如图,已知点O为正六边形ABCDEF的中心,下列结论中正确的是()A.+=0B.(-)(-)=0C.()=()D.【解析】选BC.对A,+=2,故A错误;对B,因为-=-=,-=-=,由正六边形的性质知OFAE,所以(-)(-)=0,故B正确;对C,设正六边形的边长为1,则=11cos 120=-,=11cos 60=,所以()=()-=,式子显然成立,故C正确;对D,设正六边形的边长为1,|+|=|=1,|+-|=|+-|=|-|=|=,故D错误.11.
7、(2020日照高一检测)已知函数f=2sin xcos x-2sin 2x,给出下列四个选项,正确的有()A.函数f的最小正周期是B.函数f在区间上是减函数C.函数f的图象关于点对称D.函数f的图象可由函数y=sin 2x的图象向右平移个单位,再向下平移1个单位得到【解析】选AB.因为f=2sin xcos x-2sin 2x+1-1=sin 2x+cos 2x-1=sin-1,对A,因为=2,所以f的最小正周期T=,结论正确.对B,当x时,2x+,则f在上是减函数,结论正确.对C,因为f=-1,得到函数f图象的一个对称中心为,结论不正确.对D,函数f的图象可由函数y=sin 2x的图象向左平
8、移个单位再向下平移1个单位得到,结论不正确.12.已知e1,e2是两个单位向量,R时,|e1+e2|的最小值为,则下列结论正确的是()A.e1,e2的夹角是B.e1,e2的夹角是或C.|e1+e2|=1或D.|e1+e2|=1或【解析】选BC.由题可知,(e1+e2)2=2+2e1e2+1=(+e1e2)2+1-1-,因为e1,e2是两个单位向量,且|e1+e2|的最小值为,所以的最小值为,则1-=,解得cos =,所以e1与e2的夹角为或,所以|e1+e2|2=1+2e1e2+1=22=1或3,所以|e1+e2|=1或.三、填空题(每小题5分,共20分)13.若扇形的周长是 16 cm,圆心
9、角是2 rad,则扇形的面积是cm2.【解析】设扇形半径为r cm,弧长为l cm,则l=2r, 16=2r+2r,所以r=4,则扇形面积为 S=2r2=16(cm2).答案:1614.(2020上海高一检测)若sin =,且sin 0,则是第象限角.【解析】由二倍角公式得cos =1-2sin 2=1-2=-0,又因为sin 0),则A=,b=.【解析】因为2cos 2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=sin+1=Asin (x+)+b,所以A=,b=1.答案:116.(2020全国卷)关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题:f(x)的图象关于y轴对称.f(x)的图象关
10、于原点对称.f(x)的图象关于直线x=对称.f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.【解析】对于,由sin x0可得函数的定义域为x|xk,kZ,故定义域关于原点对称,由f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x),所以函数为奇函数,图象关于原点对称, 错对.对于,由于f(-x)=sin(-x)+=sin x+=f(x),所以f(x)关于x=对称,对.对于,令t=sin x,t-1,0)(0,1,由对勾函数g(t)=t+的性质,可知g(t)(-,-22,+),所以f(x)无最小值,错.答案:四、解答题(共70分)17.(10分)已知角的终边经过点P(-3a,4a).(a0)(
11、1)当a=1时,求sin -2cos 的值.(2)若sin 0,求3tan +5cos 的值.【解析】(1)a=1时,P,此时r=5.再根据sin =,cos =, 求出sin =, cos =-,进而得出sin -2cos =-2=2.(2)由sin 0可得sin =-,由此得出a0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最小值.【解析】(1)因为f(x)=sin (-x)cos x+cos 2x.所以f(x)=sin xcos x+=sin 2x+cos 2x+=sin +.由
12、于0,依题意得=,所以=1.(2)由(1)知f(x)=sin +,所以g(x)=f(2x)=sin +.当0x时,4x+,所以sin 1.因此1g(x).故g(x)在区间上的最小值为1.21.(12分)向量a=,b=(sin x,cos 2x),xR,设函数 f(x)=ab.(1)求 f(x) 的表达式并化简.(2)写出 f(x) 的最小正周期并在下边直角坐标中画出函数 f(x)在区间 0, 内的简图.(3)若方程 f(x)-m=0 在 0, 上有两个根 ,求m的取值范围及 + 的值.【解析】(1)f=sin 2x-cos 2x=sin .(2) f(x) 的最小正周期 T=.(3)由图可知,
13、当 m时,=,即 +=,当 m时,=,即 +=,所以 +=或.22.(12分)已知函数 f(x)=4sin 2sin x+(cos x+sin x)(cos x-sin x)-1.(1)求满足 f(x)1 的实数 x 的取值集合.(2)当 a-2 时,若函数 g(x)=f(2x)+af(x)-af-x-a-1 在-,的最大值为2,求实数 a 的值.【解析】(1) f(x)=2sin x+cos 2x-sin 2x-1=(2+2sin x)sin x+1-2sin 2x-1=2sin x,由 f(x)=2sin x1,得 x,(kZ).(2)g(x)=sin 2x+asin x-acos x-a-1,令 sin x-cos x=t,则 sin 2x=1-t2,所以y=1-t2+at-a-1=-t2+at-a=+-a.因为 t=sin x-cos x=sin ,由 -x 得 -x-,所以-t1.当 -1,即 -2a2 时, ymax=-a,由 -a=2,得a2-2a-8=0 解得 a=-2 或 a=4 (舍),当 1,即 a2 时,在t=1处ymax=-1,由 -1=2 得 a=6.因此 a=-2 或 a=6.
