1、湖南省衡阳市第八中学2021届高三数学上学期第五次（1月）月考试题注意事项：本试卷满分150分，时量为120分钟第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则集合中子集的个数是（）A4B8C16D32【答案】B【分析】根据题意，求出集合M与N，进而由交集的定义求得MN，结合集合的元素数目与集合的子集数目分析可得答案【详解】根据题意，A=xN|-2x4=0，1，2，3，B=x|0=x|-1x3，则AB=0，1，2，则集合AB中子集的个数是23=8；故选B【点睛】本题考查集合的交集计算，关键是求出集合M、N，属于基础
2、题2复数（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：原式，故选A.考点：复数.3为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种A36B48C60D16【答案】A【分析】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.【详解】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有种方式，所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有种方式.故选：A【点睛】本题考查了组合与排列的应用，属于基础题.4攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式宋代称为撮尖，清
3、代称攒尖依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为，则底面正边形的边长为，因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，所以侧棱长为，所以侧棱与底面外接圆半径的比为.故选：A【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.5新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了
4、解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2下列说法错误的是（ ）A样本容量为240B若样本中对平台三满意的人数为40，则C总体中对平台二满意的消费者人数约为300D样本中对平台一满意的人数为24人【答案】B【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.求出样本容量为240判断选项A的正误；求出判断选项B的正误；计算出总体中对平台二满意的消费者人数约为300判断选项C的正误；计算出样本中对平台一满意的人数为24人判断选项D的正误.【详解】选项A，样本容量为，该选项正确；选项B，根据题意得平台三的满意率，不是，该选项错误；选项C，样本可以估计总
5、体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为，该选项正确；选项D，总体中对平台一满意人数约为，该选项正确.故选：B【点睛】本题主要考查分层抽样，考查用样本估计总体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据对数函数对底数的要求，及对数的单调性特征，分段讨论a的取值情况，分别解不等式即可求得a的范围。【详解】因为所以 当时，对数函数为减函数，所以，可得当时，对数函数为增函数，所以，可得综上所述，的取值范围为所以选D【点睛】本题考查了对数函数大小的判断，注意对数的底数对单调性的影响，属于中档题。7若为所在平面内任意一点，且满足，则一定
6、为（ ）A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D钝角三角形【答案】C【分析】由向量的线性运算可知，所以，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得，进而可得，即可得出答案.【详解】由题意，所以，取的中点，连结，并延长到，使得，连结，则四边形为平行四边形，所以.所以，即，故，是等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8已知函数，且是偶函数，若函数有且只有4个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由函数的图象对称性，解得的值，化简函数的解析式为，令，把函数有且只有4个零点，转化为在区间上有两个零点，即
7、可求解【详解】由题意，函数 ，且是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，所以，解得，此时函数 ，令，则，因为函数有且只有4个零点，且的图象关于对称，即函数的图象在有两个零点，所以在区间上有两个零点，即与的图象在有两个交点，当时，如图所示，则，解得，即实数的取值范围是，故选A【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的性质，求得函数的解析式，合理利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错
8、的得0分，部分选对的得3分.9函数的（ ）A图象对称中心为B增区间为C图象对称轴方程为，D最大值是2，最小值是-2【答案】ABD【分析】化简函数再利用函数的性质，即可得答案；【详解】对A，当，故A正确；对B，解得：，故B正确；对C，当时，故C错误；对D，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.10若过点(-2，1)的圆M与两坐标轴都相切，则直线3x-4y+100与圆M的位置关系可能是（ ）A相交B相切C相离D不能确定【答案】AB【分析】圆M与两坐标轴都相切，且点(-2，1)在该圆上，列方程，可求得圆的方程
9、，得到圆心坐标分别为：(-1，1)或(-5，5)，然后，利用圆心到直线的距离，分情况讨论即可【详解】因为圆M与两坐标轴都相切，且点(-2，1)在该圆上，所以可设圆M的方程为(x+a)2+(y-a)2a2，所以(-2+a)2+(1-a)2a2，即a2-6a+50，解得a1或a5.当圆心坐标为(-1，1)时，圆的半径为1，所以圆心到直线3x-4y+100的距离为；当圆心坐标为(-5，5)时，圆的半径为5，所以圆心到直线3x-4y+100的距离为.故选：AB11已知，则的最小值和此时、应取的值为（ ）A最小值为B最小值为C，D，【答案】BD【分析】根据条件，将变形为，利用基本不等式求解最值，并确定取
10、等条件.【详解】，且当时等号成立，.故选：BD12已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）A平面B平面C与平面所成的角的大小为45D平面将正方体分成两部分的体积的比为【答案】ACD【分析】如图，计算可得分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A、B的正确与否，计算出直线与平面所成的角为后可得C正确，而几何体为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D正确与否.【详解】如图，连接，则，故棱与球面没有交点.同理，棱与球面没有交点.因为棱与棱之间的距离为，故棱与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，
11、而，球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，所以棱与球面各有一个交点， 如图各记为.因为为直角三角形，故，故为棱的中点.同理分别为棱的中点.由正方形、为所在棱的中点可得，同理，故，故共面.由正方体可得，故因为平面，平面，故平面，故A正确.因为在直角三角中， ，与不垂直，故与不垂直，故平面不成立，故B错误.由正方体可得平面，而平面，所以，所以在正方形中，因为分别为的中点，故，因为，故平面，所以为直线与平面所成的角，而，故直线与平面所成的角为，因为，故与平面所成的角的大小为45.故C正确.因为分别为所在棱的中点，故几何体为三棱柱，其体积为，而正方体的体积为8，故平面将正方体分成两部分的体积的比为
12、，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13在展开式中含的系数是_（用数字作答）【答案】【解析】试题分析：只需求的展开式中含的系数即可，由于，令则，所以在2展开式中含的系数是2，故答案应填.考点：二项式定理.14若曲线在处的切线，也是的切线，则_.【答案】2.【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得，的值，进而得到的值.【详解】由，
13、得，曲线在处的切线斜率为，则曲线在的切线方程为，的导数为，设切点为，则，解得，即有，得.故答案为：2【点睛】本题考查了基本初等函数的导数以及导数的几何意义，属于基础题.15已知数列满足，为数列的前项和，则_【答案】【解析】【分析】由，令 ，求得 的值，得 ，两式相比，即得 ，从而求得数列的前项和【详解】，令 ，求得，当时 数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列；则【点睛】考查由递推公式求数列中的性质，解决方法，体现了分类讨论的思想方法，属基础题.16已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于P，Q两点，且，则双曲线的离心率为_.【答案】【分析】先根据题意得，再根据双曲线的定义得，再
14、在中，利用勾股定理即可求得.【详解】解：如图，可设为双曲线右支上一点，由，在直角三角形中，由双曲线的定义可得：，由，即有，即为，解得，由勾股定理可得：，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出; 构造的齐次式，求出; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; 根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据双曲线的定义及勾股定理可以找出之间的关系，求出离心率四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题10分）在条件，中任选一个，补充
15、到下面问题中，并给出问题解答.在中，角，的对边分别为，_，求的面积.【答案】选，；选，；选，【分析】根据选择的条件，利用正余弦定理，求出边长，再利用面积公式即可求出.【详解】解：选择，即，化简得：，又，即，由余弦定理得:，解得:，的面积为；选择，由正弦定理可得，又，由，即，即，由余弦定理得，解得：，的面积为；选择由及，得：，即，由正弦定理得：，即，由，得：，的面积为.【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某
16、个角的函数，利用函数思想求最值.18（本小题12分）设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列. 已知，.（1）求和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）设数列的前n项和为，若，求正整数n的值【答案】（1），；（2）（i），（ii）4【分析】（1）先根据，解出数列的通项公式，然后将，的值代入求解和公差得出数列的通项公式；（2）(i)利用等比数列的求和公式先求出等比数列的前项和，再求解；（ii）利用等差数列的求和公式求出，将、和等代入，解方程即可.【详解】（1）设等比数列的公比为由，可得因为，可得，故，设等差数列的公差为，由，可得，由可得，从而，故，所以数列的通项公式为，数
17、列的通项公式为 （2）(i)由（1）可知，则，故.(ii)因为，所以，由，得整理得：，解得或（舍），所以的值为【点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合运用，要熟练运用等差数列等比数列的通项公式、前项和公式是关键.19（本小题12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度21232527293133平均产卵数/个7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方
18、程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.01）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.附：回归方程中，.参考数据52151771371781.33.6【答案】（1）；（2）当时，.【分析】（1）根据散点图判断更适宜作为关于的回归方程类型；对两边取自然对数，求出回归方程，再化为y关于x的回归方程；（2）由对其求对数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以
19、及对应的值.【详解】解：（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数关于温度的回归方程类型.对两边取自然对数，得，由数据得，所以，所以关于的线性回归方程为，关于的回归方程为.（2）由得，因为，令得，解得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一的极大值为，也是最大值；所以当时，.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了概率的计算与应用问题，属于中档题.20（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】证明：（1）见解析；（2）二面角的平面角的余弦值为.【解析】试题分析：（1）注意做辅助线，连结和交于，
20、连结，根据为中点，为中点，得到， 即证得平面；（2）应用已知条件，研究得到，平面，创造建立空间直角坐标系的条件，通过以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，应用“向量法”解题；解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.试题解析：证明：（1）连结和交于，连结，为正方形，为中点，为中点，平面，平面平面（2）平面，平面，为正方形，平面，平面，平面，以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，则，平面，平面， ，为正方形，由为正方形可得：，设平面的法向量为，由 ，令，则设平面的法向量为，由，令，则，设二面角的
21、平面角的大小为，则 二面角的平面角的余弦值为考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义及计算，空间向量的应用.21 （本小题12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点其焦点的距离的最大值为，过点的直线交椭圆C于点、（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（）利用椭圆性质求最值，求得相应值；（）先由点P在椭圆上建立实数与直线的斜率之间的关系，再由求得的范围，进而求得实数的取值范围.试题解析：（）（1分）椭圆C上的点其焦点的距离的最大值为a+c=（2分）解得（3分），椭圆方程
22、是（4分）（）设方程为由整理得. （5分）由，得.（6分）则,（7分）由点P在椭圆上，得化简得 （8分）又由即将，代入得（9分）化简，得则, （10分）由，得联立，解得或（12分）考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.弦长公式.22（本小题12分）已知函数若，试证明：当时，；若对任意，均有两个极值点，试求b应满足的条件；当时，证明：【答案】（1）见解析（2），.见解析【解析】【分析】（1）求出导数，求出其最小值，由最小值大于0，从而证明出结论（2）首先0有两个不等的实根，再用导数研究的性质，求导，利用的正负确定的单调性及最小值点，在时，计算出，由零点存在定理可得存在两个零点，即有
23、两个极值点；当时，可取，此时没有零点极值点；由知，为的两个实数根，由于，可判断出两零点一正一负，即，且在递减，为证题中不等式，先做一些准备工作，下面先证，只需证明，注意到得，从而，下面再用导数的知识证明；由函数单调性得，问题转化为只需证明，即证明，这再用导数加以证明【详解】证明：，令，解得可得：时，函数取得极小值即最小值，函数在当时单调递增，当时，设，则，故在递减，在递增，故至多有2个零点；当时，且，又，由可知，是R上的连续函数，在，上各有1个零点，此时，为函数的2个不同的极值点，故符合题意；当时，取，则在递减，在递增，故，故时，故函数递增，没有极值点，不合题意，综上，当时，对任意，均有2个极值点；由知，为的两个实数根，在递减，下面先证，只需证明，得，设，则，故在递减，又，时，在递减，问题转化为只需证明，即证明，设函数，则，设，则，在递增，即，在递增，当时，则，【点睛】本题考查用导数研究函数的性质：单调性与极值，证明函数不等式用导数证明不等式，一般是用导数研究函数的单调性，得出函数的最值，从而证得不等式成立这属于难题，解题时常常用到问题的转化，把不等式的问题转化为求函数的最值
