1、第一章 三角函数12 任意角的三角函数12.2 同角三角函数的基本关系内 容 标 准学 科 素 养1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式2.理解同角三角函数的基本关系式3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.发展逻辑推理提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 同角三角函数的基本关系式阅读教材 P1819，思考并完成以下问题利用三角函数定义：sin y，cos x，tan yx.可发现 sin2 与 cos2 之间、tan 与 sin、cos 间有什么关系？(1)计算sin230cos
2、230，sin290cos290.提示：值都是 1.(2)利用三角函数的定义，可得出 sin2cos2_提示：x2y21.(3)利用三角函数线，可得出 sin2cos2_提示：|PM|2|OM|2|OP|21.(4)利用三角函数定义，可得出 tan 与 sin、cos 的关系提示：tan yxsin cos.知识梳理 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：_(2)商数关系：_(3)由 sin2cos21，可得 sin2_，cos2_(4)由 tan sin cos 可得 sin _，cos sin tan.sin2cos21tan sin cos(k2，kZ)1cos21sin2tan co
3、s 自我检测1若 sin 45，且 是第二象限角，则 tan 的值为()A43 B.34 C34 D43答案：A2已知 sin 13，tan 24，则 cos()A2 23 B.2 23 C13 D.24答案：A探究一 利用同角三角函数的关系式求值教材 P19 例 6方法步骤：(1)确定 所在象限；(2)代入公式计算角度 1 已知角 的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角函数值例 1(1)已知 tan 12，且，32，则 sin 的值是()A 55 B.55 C.2 55 D2 55解析 tan 12，sin cos 12，即 cos 2sin.又 sin2cos21，sin24sin21
4、，即 sin215，又，32，sin 0，sin 55.答案 A(2)若 sin cos 15，(0，)，则 sin2cos2_解析 sin cos 15，(sin cos)2 125，sin cos 1225.(0，)，cos 0，cos 0.所以 sin 1213，cos 513.所以 tan sin cos 125.法二：(方程思想)：解方程组sin cos 713，sin2 cos2 1，得sin 1213，cos 513或sin 513，cos 1213(舍)故 tan 125.答案：125角度 2 已知角 的某一三角函数值，未给出 所在象限，求角 的其余三角函数值例 2 已知 co
5、s 513，求 13sin 5tan 的值解析 法一：(平方关系)cos 5130，是第二或第三象限角(1)若 是第二象限角，则 sin 1cos21 51321213，tan sin cos 1213 513125，故 13sin 5tan 1312135125 0.(2)若 是第三象限角，则 sin 1cos21 51321213，tan sin cos 1213 513125，此时，13sin 5tan 131213 5125 0.综上，13sin 5tan 0.法二：(切化弦)tan sin cos，13sin 5tan 13sin 1 5131cos 13sin 1 5131350.
6、方法技巧 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角 是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出 的终边可能在的象限，再分类求解跟踪探究 1.已知 tan 512，求 sin，cos 的值解析：tan sin cos 512sin2cos21，sin 513.当 在第二象限时，sin 513，cos sin tan 513 5121213；当 在第四象限时，sin 513，cos sin tan 513 5121213.探究二 齐次式求值问题教材 P22 第 3 题已知 tan 2，求sin cos sin cos 的值解析：sin cos sin cos tan 1tan 1212
7、13.例 3 已知 tan 2，求下列代数式的值(1)4sin 2cos 5cos 3sin；(2)14sin213sin cos 12cos2.解析(1)原式4tan 253tan 611.(2)原式14sin213sin cos 12cos2sin2cos214tan213tan 12tan211441321251330.方法技巧 已知角 的正切求关于 sin，cos 的齐次式的方法(1)关于 sin，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为 n 次，将分子分母同除以 cos 的 n 次幂，其式子可化为关于 tan 的式子，再代入求值(2
8、)若无分母时，把分母看作 1，并将 1 用 sin2cos2 来代换，将分子、分母同除以 cos2，可化为关于 tan 的式子，再代入求值延伸探究 3.此题改为：若已知4sin 2cos 5cos 3sin 611.求(1)sin2cos2sin2cos2.(2)sin23sin cos 1.(3)11sin 11sin.解析：由4sin 2cos 5cos 3sin 611得 tan 2.(1)sin2cos2sin2cos2tan21tan21414153.(2)sin23sin cos 12sin23sin cos cos2sin2cos22tan23tan 11tan222232112
9、235.(3)11sin 11sin 21sin2 2sin22cos2cos22tan22222210.探究三 三角函数式的化简与证明教材 P19 例 7方法步骤：从左证到右例 4(1)化简：cos 36 1cos23612sin 36cos 36；解析 原式cos 36sin 36sin236cos2362sin 36cos 36cos 36sin 36（cos 36sin 36）2 cos 36sin 36|cos 36sin 36|cos 36sin 36cos 36sin 361.(2)求证：12sin xcos x12sin2x1tan x1tan x.法一：(“1”的代换)左边s
10、in2xcos2x2sin xcos xsin2xcos2x2sin2x（sin xcos x）2cos2xsin2x（cos xsin x）2（cos xsin x）（cos xsin x）cos xsin xcos xsin x1tan x1tan x右边，等式成立法二：(切化弦)右边1sin xcos x1sin xcos xcos xsin xcos xsin x（cos xsin x）2（cos xsin x）（cos xsin x）cos2x2sin xcos xsin2xcos2xsin2x 12sin xcos x1sin2xsin2x12sin xcos x12sin2 x左
11、边等式成立方法技巧 1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的2证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)(3)比较法：即证左边右边0 或左边右边1(右边0)(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立跟踪探究 2
12、.(1)化简：12sin 10cos 10sin 10 1sin210；解析：原式（cos 10sin 10）2sin 10 cos210|cos 10sin 10|sin 10cos 10 cos 10sin 10sin 10cos 101.(2)求证：tan sin tan sin tan sin tan sin .证明：右边tan2sin2（tan sin）tan sin tan2 tan2cos2（tan sin）tan sin tan2（1cos2）（tan sin）tan sin tan2sin2（tan sin）tan sin tan sin tan sin 左边，原等式成立课后
13、小结1同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如 sin22cos221，sin 8cos 8tan 8 等都成立，理由是式子中的角为“同角”2已知角 的某一种三角函数值，求角 的其余三角函数值，要注意公式的合理选择一般是先选用平方关系，再用商数关系在应用平方关系求 sin 或 cos 时，其正负号是由角 所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式3在三角函数的变换求值中，已知 sin cos，sin cos，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值4在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公
14、式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法5在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解素养培优忽略角度范围，开方时忽略符号，造成增解或丢解典例 若 tan sin 0，化简1sin 1sin 1sin 1sin.易错分析 开方时不注意正、负，致错解或增解自我纠正 解析 由于 tan sin 0，则 tan，sin 异号，在第二或第三象限，cos 0，原式（1sin）2（1sin）（1sin）（1sin）2（1sin）（1sin）（1sin）21sin2（1sin）21sin2|1sin|cos|1sin|cos|1sin 1sin cos 2cos.课时 跟踪训练
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