1、第3讲不等式一、选择题1.(2019河北石家庄质检)已知a0b,则下列不等式一定成立的是() A.a2-ab B.|a|1b D.12a12b答案C解法一:当a=1,b=-1时,满足a0b,此时a2=-ab,|a|=|b|,12a0b,b-a0,ab0,1a1b一定成立,故选C.解法二:a0b,1a01b,1a1b一定成立,故选C.2.已知aR,不等式x-3x+a1的解集为p,且-2p,则a的取值范围是()A.(-3,+) B.(-3,2)C.(-,2)(3,+) D.(-,-3)2,+)答案D-2p,-2-3-2+a1或-2+a=0,解得a2或a0时,x2+2ax+102ax-(x2+1)2
2、a-x+1x,又-x+1x-2,当且仅当x=1时取等号,所以由题意得2a-2a-1,所以实数a的取值范围是-1,+).解法二:设f(x)=x2+2ax+1,则该函数图象的对称轴为直线x=-a.当-a0,即a0时, f(0)=10,所以当x0,+)时, f(x)0恒成立;当-a0,即a0时,要使f(x)0在0,+)上恒成立,需f(-a)=a2-2a2+1=-a2+10,得-1a0,2x-1,x0,若不等式f(x)+10在R上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,0) B.-2,2C.(-,2 D.0,2答案C由f(x)-1在R上恒成立,可得当x0时,2x-1-1,即2x0,显然成立;又x0时
3、,x2-ax-1,即ax2+1x=x+1x,由x+1x2x1x=2,可得a2,当且仅当x=1时,取得最小值2,综上可得,实数a的取值范围是(-,2.5.(2019湖南长沙统一模拟)若a0,b0,a+b=ab,则a+b的最小值为()A.2 B.4C.6 D.8答案B解法一:由于a0,b0,a+b=ab(a+b)24,因此a+b4或a+b0(舍去),当且仅当a=b=2时取等号,故选B.解法二:由题意,得1a+1b=1,所以a+b=(a+b)1a+1b=2+ab+ba2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号,故选B.解法三:由题意知a=bb-1(b1),所以a+b=bb-1+b=b-1+1b-1+22
4、+2=4,当且仅当a=b=2时取等号,故选B.6.(2019河南郑州第二次质量预测)设变量x,y满足约束条件y2,x+y1,x-y1,则目标函数z=133x+y的最大值为()A.1311B.133C.3 D.4答案C作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=133x+y,设u=3x+y,欲求z=133x+y的最大值,等价于求u=3x+y的最小值.u=3x+y可化为y=-3x+u,该直线的纵截距为u,作出直线y=-3x并平移,当直线y=-3x+u经过点B(-1,2)时,纵截距u取得最小值umin=3(-1)+2=-1.所以z=133x+y的最大值zmax=13-1=3.故选C.7
5、.若1a1b0,给出下列不等式:1a+b0;a-1ab-1b;ln a2ln b2.其中正确的不等式的序号是()A.B.C.D.答案C解法一:因为1a1b0,所以可取a=-1,b=-2.显然|a|+b=1-2=-10,所以错误,综上所述,可排除A、B、D,故选C.解法二:由1a1b0,可知ba0.中,因为a+b0,所以1a+b1ab,故正确;中,因为ba-a0,故-b|a|,即|a|+b0,故错误;中,因为ba0,又1a1b-1b0,所以a-1ab-1b,故正确;中,因为baa20,而y=ln x在定义域(0,+)上为增函数,所以ln b2ln a2,故错误.综上所述,知正确.8.若实数x,y
6、满足不等式组x+y-30,x-2y-30,x1,目标函数z=kx-y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为()A.1B.2C.3D.4答案B作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.则A(1,2),B(1,-1),C(3,0),因为目标函数z=kx-y的最小值为0,所以目标函数z=kx-y的最小值只可能在A或B处取得,所以若在A处取得,则k-2=0,得k=2,此时,z=2x-y在C点有最大值,zmax=23-0=6,符合题意;若在B处取得,则k+1=0,得k=-1,此时,z=-x-y在B点取得最大值,zmax=-1-(-1)=06,不符合题意,故选B.9.某企业生产甲、乙两种产品均需用
7、A、B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为()甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.15万元B.16万元C.17万元D.18万元答案D设生产甲产品x吨,乙产品y吨,获得的利润为z万元,由题意可知3x+2y12,x+2y8,x0,y0,z=3x+4y,作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,直线z=3x+4y过点M时取得最大值,由3x+2y=12,x+2y=8,得x=2,y=3,M(2,3),故z=3x+4y的最大值为18,故选D.10.(2019河南洛阳统考)如果点P(x,
8、y)满足2x-y+20,x-2y+10,x+y-20,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的取值范围是()A.5-1,10-1 B.5-1,10+1C.10-1,5 D.5-1,5答案D作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示),设点Q所在圆的圆心为M,则M(0,-2),所以|PM|取得最小值的最优解为(-1,0),取得最大值的最优解为(0,2),所以|PM|的最小值为5,最大值为4,又圆M的半径为1,所以|PQ|的取值范围是5-1,5,故选D.11.(2019河南洛阳尖子生第二次联考)已知实数x,y满足x-2y+10,x2,x+y-10.若z=|2x-2y-1
9、|,则z的取值范围是()A.53,5B.0,5C.0,5)D.53,5答案C解法一:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示.令t=2x-2y-1,则z=|t|.t=2x-2y-1可变形为y=x-12t-12,作出直线y=x,并平移,当直线经过点A13,23时,t取得最小值,所以tmin=213-223-1=-53;当直线y=x向右下方平移,并接近点C(2,-1)时,t的值趋近于22-2(-1)-1=5.所以z的取值范围是0,5),故选C.解法二:令t=2x-2y-1,则z=|t|.易知t=2x-2y-1的最值在可行域的顶点处取得.易得A13,23,B2,32,C(2,-1)为可行域的顶点,分别
10、将A,B,C三点的坐标代入t=2x-2y-1,对应的t的值为-53,0,5,又可行域不包含点B,C,所以z的取值范围是0,5),故选C.12.若两个正实数x,y满足13x+3y=1,且不等式x+y4-n2-13n120有解,则实数n的取值范围是()A.-2512,1B.-,-2512(1,+)C.(1,+)D.-,-2512答案B因为不等式x+y4-n2-13n120有解,所以x+y4min0,y0,且13x+3y=1,所以x+y4=x+y413x+3y=1312+3xy+y12x1312+23xyy12x=2512,当且仅当3xy=y12x,即x=56,y=5时取等号,所以x+y4min=2
11、512,故n2+13n12-25120,解得n1,所以实数n的取值范围是-,-2512(1,+).二、填空题13.(2019河南洛阳统考)已知x0,y0,且1x+2y=1,则xy+x+y的最小值为.答案7+43解析1x+2y=1,2x+y=xy,xy+x+y=3x+2y,3x+2y=(3x+2y)1x+2y=7+6xy+2yx,且x0,y0,3x+2y7+43,当且仅当6xy=2yx时,xy+x+y取最小值7+43.14.(2019江西七校第一次联考)设x,y满足约束条件x+y-70,x-3y+10,3x-y-50,则z=2x-y的最大值为.答案8解析解法一:作出不等式组表示的平面区域如图中阴
12、影部分所示,作出直线2x-y=0,并平移,当直线经过点A(5,2)时,z取得最大值,即zmax=25-2=8.解法二:易知目标函数的最值在可行域的顶点处取得,由x+y-7=0,x-3y+1=0,得A(5,2),此时z=8;由x+y-7=0,3x-y-5=0,得B(3,4),此时z=2;由x-3y+1=0,3x-y-5=0,得C(2,1),此时z=3.综上,z的最大值为8.15.(2019河南郑州第一次质量预测)不等式x(sin -cos2+1)-3对任意R恒成立,则实数x的取值范围是.答案-32,12解析sin -cos2+1=sin2+sin ,令sin =t,t-1,1,则x(sin -c
13、os2+1)-3对任意R恒成立,可转化为f(t)=xt2+xt+30对t-1,1恒成立,又f(0)=30,所以x0,=x2-12x0,解得-32x0或x=0或00,y0,且x-1y2=16yx,则当x+1y取最小值时,x2+1y2=.答案12解析x0,y0,当x+1y取最小值时,x+1y2取得最小值,x+1y2=x2+1y2+2xy,x-1y2=16yx,x2+1y2=2xy+16yx,x+1y2=4xy+16yx24xy16yx=16,x+1y4,当且仅当4xy=16yx,即x=2y时取等号,当x+1y取最小值时,x=2y,x2+1y2+2xy=16,即x2+1y2+22yy=16,x2+1y2=16-4=12.8 / 8