1、第四练 一、选择题 1.(2019 课标全国文,11,5 分)记不等式组+6,2-0 表示的平面区域为 D.命题p:(x,y)D,2x+y9;命题 q:(x,y)D,2x+y12.下面给出了四个命题 pq pq pq pq 这四个命题中,所有真命题的编号是()A.B.C.D.答案 A 由不等式组画出平面区域 D,如图中阴影部分所示,在图中画出直线 2x+y=9,可知命题 p 正确,作出直线 2x+y=12,2x+y12 表示直线及其下方区域,易知命题 q 错误.p 为假,q 为真,pq 为真,pq 为假,pq 为真,pq 为假.故真命题的编号为,故选 A.2.定义在 R 上的函数 f(x)满足
2、 f(x+1)=f(x-1),且 f(x)=+,-1 0,|2-|,0 0,b0)的左焦点为 F,离心率为2,若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x2-y2=1 B.22-22=1 C.24-24=1 D.28-28=1 答案 D 由题意得双曲线的左焦点为 F(-c,0).由离心率 e=2,得c=2a,c2=2a2=a2+b2,即 a=b,所以双曲线的渐近线方程为 y=x,则经过 F 和 P(0,4)两点的直线的斜率 k=4=1,得 c=4,所以 a=b=22,所以双曲线的方程为28-28=1,故选 D.二、填空题 5.已知点 A(2,1),
3、O 是坐标原点,点 P(x,y)的坐标满足2-0,-2+3 0,0,设 z=,则 z 的最大值是 .答案 4 解析 解法一:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示,z=2x+y,作出直线 2x+y=0 并平移,可知当直线过点 C 时,z 取得最大值.由2-=0,-2+3=0,得 =1,=2,即C(1,2),则 z 的最大值是 4.解法二:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示,可知可行域是三角形封闭区域.z=2x+y,易知目标函数 z=2x+y 的最大值在顶点处取得,求出三个顶点的坐标分别为(0,0),(1,2),(-3,0),分别将(0,0),(1,2),(-3,0)代入 z=2x+y,对应
4、 z 的值为0,4,-6,故 z 的最大值是 4.6.在ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a2+b2-c2=3ab,且 acsin B=23sin C,则ABC 的面积为 .答案 32 解析 因为 a2+b2-c2=3ab,所以由余弦定理得 cos C=2+2-22=3ab2=32,又 0C,所以 C=6.因为 acsin B=23sin C,所以结合正弦定理可得 abc=23c,所以 ab=23.故SABC=12absin C=1223sin 6=32.三、解答题 7.如图所示的多面体 ABCDEF 满足:正方形 ABCD 与等边三角形 FBC 所在的平面互相垂直,F
5、BAE 且 FB=2EA.(1)证明:平面 EFD平面 ABFE;(2)求二面角 E-FD-C 的余弦值.解析(1)证明:四边形 ABCD 是正方形,且三角形 FBC 是等边三角形,BCAD,FB=BC,且FBC=60.又2EAFB,EAD=60.在EAD 中,设 EA=a,则 AD=2a,由余弦定理得 DE=2+42-2a2acos60=3a,DE2+AE2=AD2,DEAE.平面 ABCD平面 FBC,平面 ABCD平面 FBC=BC,ABBC,且 AB平面 ABCD,AB平面 FBC.BCAD,EAFB,FBBC=B,AEAD=A,且 FB,BC平面 FBC,EA,AD平面 EAD,平面
6、 EAD平面 FBC,AB平面 EAD.又ED平面 EAD,ABED.EDEA,EAAB=A,且 EA,AB平面 ABFE,DE平面 ABFE.又DE平面 EFD,平面 EFD平面 ABFE.(2)分别取 BC 和 AD 的中点 O,G,连接 OF,OG.BO=OC,且三角形 FBC 为等边三角形,FOBC.易知 GAOB,四边形 OGAB 为平行四边形,OGAB.由(1)可得 AB平面 FBC,OG平面 FBC,故 OF,OB,OG 两两垂直,以 OB,OG,OF所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设 BC=4,则 F(0,0,23),C(-2,0,0),
7、D(-2,-4,0),E(1,-4,3),则=(2,4,23),=(3,0,3),=(0,4,0),设平面 DEF 的法向量为 n=(x1,y1,z1),平面 DCF 的法向量为 m=(x2,y2,z2),则DF =0,DE =0,即 2x1+4y1+23z1=0,3x1+3z1=0,取 x1=3,n=(3,3,-3),DF =0,DC =0,即 2x2+4y2+23z2=0,4y2=0,取 x2=3,m=(3,0,-1),则 cos=|=6215=155.又二面角 E-FD-C 的平面角是钝角,二面角 E-FD-C 的余弦值为-155.8.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空
8、气质量与前几年相比得到了很大改善,郑州市设有 9 个监测站点监测空气质量指数(AQI),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有 2、5、2 个监测站.以 9 个站点测得的AQI 的平均值为依据,播报我市的空气质量.(1)若某日播报的 AQI 为 118,已知轻度污染区 AQI的平均值为 74,中度污染区 AQI的平均值为 114,求重度污染区 AQI 的平均值;(2)下表是 2018 年 11 月的 30 天中 AQI 的分布情况,11 月中仅有一天 AQI 在170,180)内.组数 分组 天数 第一组 50,80)3 第二组 80,110)4 第三组 110,140)4 第四组
9、140,170)6 第五组 170,200)5 第六组 200,230)4 第七组 230,260)3 第八组 260,290 1 郑州市某中学组织学生利用每周日的时间进行社会实践活动,以公布的 AQI 为标准,若 AQI 小于 180,则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率作为概率,求该校学生周日进行社会实践活动的概率.在“创建文明城市”活动中,验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标,从当月的空气质量监测数据中抽取 3 天的数据进行评价,设抽取到的 AQI 不小于180 的天数为 X,求 X 的分布列及数学期望.解析(1)设重度污染区 AQI 的平均值为 x,则 742+1145+2x
10、=1189,解得x=172,即重度污染区 AQI 的平均值为 172.(2)由题意知,AQI 在170,180)内的天数为 1,由表格中的数据可知,AQI 在50,170)内的天数为 17,故 11 月 AQI 小于 180 的天数为 1+17=18,则该校周日进行社会实践活动的概率 P=1830=35.由题意知,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,且 P(X=0)=C183 C120C303=2041 015,P(X=1)=C182 C121C303=4591 015,P(X=2)=C181 C122C303=2971 015,P(X=3)=C180 C123C303=11203,则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 2041 015 4591 015 2971 015 11203 数学期望 E(X)=0 2041 015+1 4591 015+2 2971 015+3 11203=65.