1、陕西省榆林市第十二中学2021届高三数学上学期12月第三次月考试题 理（含解析）试卷满分：150分一单选题(每小题5分，共60分)1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. ，A分析：先求出集合A，B，再求其并集即可解答：解：由，得，所以，由，得，解得，所以，所以，故选：A2. 投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数为纯虚数的概率为（ ）A. B. C. D. C分析：由题意知，以表示事件空间中的基本事件，先求出事件空间的基本事件总数，再求出满足题意的基本事件数，最后利用古典概型的概率计算公式求解即可.解答：由题意知，以表示事件空间中的基本事件，其中m是抛掷第一颗骰子时向上的点数，
2、n是抛掷第二颗骰子时向上的点数，则事件空间基本事件总数为个，而为纯虚数，则，由于m0，n0，则m=n，符合条件的基本事件有共六个，由古典概型的概率计算公式得.即复数为纯虚数的概率为，故选：C点拨：关键点睛：利用复数的相关知识得到是解决本题的关键.3. 展开式的系数为（ ）A. -10B. 10C. -30D. 30A分析：先求得的通项公式，然后再由求解.解答：的通项公式为，因为。所以含的项为：，展开式的系数为-10，故选：A4. 设数列的前n项和为，且，则（ ）A. B. C. 3D. 7A分析：先求出，再当时，由得，两式相减后化简得，则，从而得数列为等比数列，进而求出，可求得的值解答：解：当
3、时，得，当时，由得，两式相减得，即，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，故选：A5. 函数（且）与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）A. B. C. D. C分析：分，两种情况进行讨论，结合指数函数的单调性和抛物线的开口方向和对称轴选出正确答案.解答：解：当时，为增函数，开口向上，对称轴，排除B,D；当时，为减函数，开口向下，对称轴，排除A,故选:C点拨：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的
4、特征点，排除不合要求的图象.6. 已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 1B分析：由向量垂直求得，再根据数量积的定义求得在方向上的投影解答：因为，所以在方向上的投影为故选：B7. 抛物线的准线被圆截得的线段长为（ ）A. 4B. C. D. 2B分析：先由抛物线方程，得到其准线方程，再由几何法求圆的弦长，即可得出结果.解答：因为抛物线的准线方程为，圆整理得，则圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，因此被圆截得的弦长为.故选：B.点拨：本题主要考查求抛物线的准线，考查求圆的弦长，属于基础题型.8. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只将的图象（ ）A. 向左
5、平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位A分析：根据三角函数的图像求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.解答：由图像观察可知，所以，则，所以，根据图像过点，所以 ，则，所以，函数，因此把图像向左平移个单位即得到的函数图像，故选：A.9. 一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20C分析：用4个人的全排列数减去两个小子在一起两个家长也在一起的情形即可得解答：四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故.故选：C点拨：
6、易错点睛：本题考查排列的应用，解题方法是排除法，要注意如果中间坐的是两个小孩或两个家长也是有陪护的情形，这里易出错10. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（ ）A. B. C. D. D分析：比较的大小，再根据单调性，即可得答案；解答：偶函数在上单调递增，函数在上单调递减，又，故选：D.点拨：根据偶函数的性质，结合函数的单调性是求解的关键.11. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. D分析：由题意可用双曲线参数表示，由是锐角三角形，令结合余弦定理即得，进而可求离心率的取值范围
7、.解答：由题意知，若如下图示，则，令，则有，是锐角三角形，有，得，而可知：的范围故选：D点拨：关键点点睛：利用双曲线参数表示三角形的三边，应用余弦定理结合锐角三角形中内角余弦值范围为，双曲线离心率求离心率范围.12. 设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数p的取值范围是（ ）A. B. C. D. C分析：求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可.解答：，在上为“凸函数”，在上恒成立，即在上恒成立，令，在上单调递增，即，故选：C.点拨：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含
8、参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理二填空题(共20分)13. 已知幂函数y= f(x)的图象过点，则曲线y= f(x)在点处的切线方程为_分析：由题可得，求出在处的导数，即切线斜率，即可求出切线方程.解答：设，将代入，解得，则，则切线方程为，即.故答案为：.14. 已知角终边上一点，则_.分析：求出，即得解.解答：由已知可得，则.故答案为：点拨：本题主要考查三角函数的坐标定义，考查二倍角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 口袋中有形状，大小都相同的6只球，其中一只
9、白球，2只红球，3只黄球，从袋中随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_.分析：求“摸出两只球颜色不同”的对立事件的概率,再利用概率和为1求解即可.解答：由题得“摸出两只球颜色相同”的概率为.故“摸出两只球颜色不同”的概率为.故答案为：点拨：本题主要考查了排列组合求概率的方法,属于基础题型.16. 将正三棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”，如图.下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有_.平面；若在同一球面上，则也在该球面上；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则；若则的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心分析：根据球的几何特征和性质，结合已知逐一判断即可.解答：由“倒影三棱锥”的几何特
10、征可知平面正确；当在同一球面上时，若的外接圆不是球的最大圆，则点不在该球面上，错误；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥的外接球的半径与等边三角形外接圆的半径相等，设其为，则，则错误；由的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为的中心，即的中点，正确.故正确的说法有.点拨：本题考查了数学阅读能力，考查了多面体外接球的问题，考查了空间想象能力.三解答题(第一题10分，其余各题12分，共70分)17. 的内角、的对边分别为、，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求.（1）（2）分析：（1）利用正弦定理，将所给的条件角化边，利用余弦定理即可求出；（2）利用面积公式求出，然后再用余弦定理即可求出的值解
11、答：（1）由正弦定理得，即， （2），因为，所以，即点拨：本题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，意在考查学生的转化能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于基础题18. 数列的前n项和为，若，点在直上.（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和；（1）证明见解析，；（2）.分析：（1）由点（Sn，Sn+1）在直线（nN*）上，得，对此式两边同除以n+1，得到，可得；根据，求出数列an的通项公式，（2）求得数列bn的通项公式，然后利用错位相减法求得数列bn的前n项和Tn；解答：（），则有：数列是以3为首项，1为公差的等差数列故- 当时，当时，当
12、时也成立（）， 解得：点拨：本题考查数列通项公式求解及等差数列性质，考查数列求和方法，易错点点睛由求 不检验首项；方法点睛：数列求和的基本方法：1.公式法，2错位性减法，3裂项相消，4分组求和19. 已知四棱锥中,底面是正方形,平面,是的中点.（1）求证：平面平面;（2）求二面角的大小;（3）试判断所在直线与平面是否平行,并说明理由.（1）证明见解析（2）（3）AE与平面PCD不平行,详见解析分析：（1）先根据条件证平面,又因为平面,所以可以证得平面平面.（2）根据条件得两两垂直,以此建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,设平面的法向量,求出法向量,根据公式求出两个法向量的余弦值,即可得出二面
13、角的大小.（3）依题意可证平面,则平面的法向量为,又,则与不垂直,证得与平面不平行.解答：（1）证明：是正方形平面, 平面, 平面 平面又平面平面平面（2）平面, 平面又正方形两两垂直以为原点如图建系,设, , , , , 又平面平面的法向量设平面 的法向量则,令,得二面角的大小为（3）, , 又平面,平面平面的法向量为又与不垂直,与平面不平行点拨：本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查用向量法求二面角的夹角,是立体几何中的基础题,掌握证明的条件是解题的关键.20. 某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，将调查得到的学生日均课余读书时间分成，六组，绘制成如图所示的频率
14、分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人.（1）求p和n的值；（2）根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星读书之星总计男女1055总计（3）将本次调查所得到有关事件发生的频率视为其发生的概率，现从该地区大量学生中.随机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的数学期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7
15、063.8415.0246.6357.87910.828（1），；（2）填表见解析；没有；（3）人.分析：（1）由频率和为1可求出的值，再由抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人可求出的值；（2）由题意完成列联表，利用公式求出，再结临界值表进行判断即可；（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为，由题意可知，从而可求出解答：（1），解得：，所以.（2）因为，所以“读书之星”有，从而列联表如下图所示：非读书之星读书之星总计男301545女451055总计7525100将列联表中的数据代入公式计算得，因为，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关
16、.（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为.由题意可知，所以（人）.点拨：此题考查频率分布直方图，考查频率的求法，考查离散型数学期望的求法，考查二项分布，考查分析问题的能力，属于中档题21. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，且（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且不过点的直线交椭圆于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值（1）；（2）证明见解析.分析：（1）由点坐标得，由可得，再求得后可得椭圆方程；（2）确定直线斜率存在，设点，直线，由点在直线上，得把代入，整理后应用韦达定理得，由，知，则，均不为0，计算，代入，可得结论解答：解；（1）根据点在椭圆上，得由，
17、得因为，所以，所以椭圆标准方程为（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，与椭圆只有一个交点，不符合题意若直线的斜率存在，设点，直线，根据点在直线上，得把代入，得，则，由，知，则，均不为0，则直线的斜率，直线的斜率，因为，所以，即直线与的斜率之和为定值点拨：方法点睛：求解圆锥曲线中定值问题常用的方法（1）引出变量法，解题流程为选择适当的量作为变量，把要证明为定值的量用上述变量表示，把得到的式子化简，得到定值、（2）特例法，从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关22. 已知函数，.（1）当时，若在上的最大值为10，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.（1）-8；（2）.分析：（1）由，求导，令，得或，分别求得，从中找出最大值，再根据最大值为10求解.（2）由，得，然后转化为恒成立，令，用导数法求得其最小值即可.解答：（1）当时，由，得，令，得或.当变化时，在的变化情况如下表：1200单调递减极小值-2+b单调递增极大值单调递减-2+b所以在上的最大值为，得.（2）由，得，因为，且等号不能同时取得，所以，即，所以恒成立，即.令，则，当时，从而，所以在上为增函数，所以，所以.点拨：方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；（2）能成立：；.
