1、第3讲圆锥曲线的综合问题考情研析1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.核心知识回顾1.最值问题求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然后利用函数知识、基本不等式等知识求解其最值2范围问题求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”不等式的来源可以是0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等3定点问题在解析几何中，有些含有参数
2、的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题4定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题5存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在热点考向探究考向1 最值与范围问题角度1最值问题例1已知抛物线C的方程为y22px(p0)，点R(1，2)在抛物线C上(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y2
3、x2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程解(1)点R(1,2)在抛物线C：y22px(p0)上，42p，解得p2，抛物线C的方程为y24x.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xm(y1)1，m0，由消去x并整理得y24my4(m1)0，y1y24m，y1y24(m1)，设直线AR的方程为yk1(x1)2，由解得点M的横坐标xM，又k1，xM，同理点N的横坐标xN，|y2y1|4，|MN|xMxN|28 2 ，令m1t，t0，则mt1，|MN|2 ，当t2，即m1时，|MN|取得最小值，此时直线AB的方程为xy20.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法
4、几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数法等)解决的(2019湘赣十四校高三联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左焦点为F1，点A是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，当直线AF1的斜率为1时，|AF1|.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AF1与椭圆C的另外一个交点为B，点A关于x轴的对称点为A，求F1AB面积的最大值解(1)解法一：e，a22c2，又a2b2c2，bc.当直线AF1的斜率为1
5、时，直线AF1通过椭圆上的顶点，|AF1|a.又a22c2，bc，b1，椭圆C的方程为y21.解法二：设椭圆的右焦点为F2，在AF1F2中，|AF1|，|AF2|2a，|F1F2|2c，(2a)22(2c)222ccos45，即a2ac2c.又e，ac.联立，得a，c1，又a2b2c2，b1.椭圆C的方程为y21.解法三：e，a22c2，又a2b2c2，abc.椭圆C的方程可化为1，即x22y22c2.又直线AF1的方程为yxc.联立，得x22(xc)22c2，即3x24cx0，x0或xc.直线AF1的斜率为1且A在x轴上方，xA0，A的坐标为(0，b)|AF1|a，a，又abc，bc1.椭圆
6、C的方程为y21.(2)如图，A在x轴上方，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为xmy1.F1，A，B三点能构成三角形，直线AB不垂直于x轴，m0，设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则A的坐标为(x1，y1)联立得(my1)22y22，即(2m2)y22my10，y1y2，y1y2.解法一：SF1ABSBAASF1AA|AA|x2xF1|y1|x21|y1|my2|my1y2|，当且仅当|m|即|m|时取等号F1AB面积的最大值为.解法二：直线AB的方程为yy1(xx1)，令y0，则xx1112，直线AB过定点(2,0)，设定点为T，则SF1AB|SF1TBSF1TA|
7、y2y1|，当且仅当|m|即|m|时取等号F1AB面积的最大值为.角度2范围问题例2(2019广东高三联考)已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，2)，(2,0)，(4，4)，.(1)求C1，C2的标准方程；(2)过点M(0,2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围解(1)由题意，抛物线的顶点为原点，所以点(2,0)一定在椭圆上，且a2，则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于2，所以也在椭圆上，1，b21，故椭圆C1的标准方程为y21，所以点(3，
8、2)，(4，4)在抛物线上，且抛物线开口向右，其抛物线C2的方程为y22px,126p，p2，所以抛物线C2的方程为y24x.(2)当直线l斜率不存在时，易知A，O，B三点共线，不符合题意当l斜率存在时，设l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24(kx2)240，即(4k21)x216kx120，令(16k)248(4k21)0，即256k2192k2480，得64k248，即k，x1x2，x1x2，y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，AOB为锐角，x1x2y1y20，即4k216，得2kb0)的长轴长为2，P为椭圆C上异于顶点的一个动点，O为坐
9、标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积恒为.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围解(1)由已知2a2，a，设点P(x0，y0)，M，直线PA2与OM的斜率之积恒为，.y1，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)设直线l：yk(x1)，联立直线与椭圆方程得(2k21)x24k2x2k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得可得y1y2k(x1x22)，故AB中点Q，QN直线方程：yx，
10、N，由已知条件得，0，02k21，|AB| ，|EF|，故Q点的轨迹T为以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，则a2，c1，所以b，所以点Q的轨迹T的方程为1.(2)证明：分别设直线AB和CD的中点为M，N，当直线AB斜率不存在或为0时，分析可知直线MN与x轴重合，当直线AB的斜率为1时，此时M，N，直线MN的方程为x，联立解得直线MN经过定点.下面证明一般性：当直线AB的斜率存在且不为0,1时，设直线AB的方程为yk(x1)，则直线CD的方程为y(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，所以y1y2，即M，同理，N，于是直线MN
11、的斜率为kMN，故直线MN的方程为y，显然x时，y0，故直线经过定点.过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点(2019白银市靖远县高三联考)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，O为坐标原点，点O到直线AF2的距离为，AF1F2为等腰直角三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l与椭圆C交于M，N两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为
12、2，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标解(1)由题意可知，直线AF2的方程为1，即bxcybc0，则.因为AF1F2为等腰直角三角形，所以bc，又a2b2c2，解得a，b1，c1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：由(1)知A(0，1)，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxt(t1)，代入y21，得(12k2)x24ktx2t220，所以16k2t24(12k2)(2t22)0，即t22k2b0)的离心率为，点A(2，)在椭圆上，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求出
13、该定值解(1)由题有a28，b24，椭圆C的方程为1.(2)当直线PN的斜率k不存在时，直线PN的方程为x或x，从而有|PN|2，所以四边形OPMN的面积S|PN|OM|222.当直线PN的斜率k存在时，设直线PN的方程为ykxm(m0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线PN的方程代入椭圆C的方程，整理得(12k2)x24kmx2m280，所以x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m，由，得M.将M点的坐标代入椭圆C的方程得m212k2.又点O到直线PN的距离为d，|PN|x1x2|，四边形OPMN的面积Sd|PN|m|x1x2| 2.综上，平行四边形OPMN的面积S为定值2.
14、定值问题的两种解法(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项相抵消或分子、分母约分得定值已知抛物线E：y22px(p0)，直线xmy3与E交于A，B两点，且6，其中O为坐标原点(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C的坐标为(3,0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：2m2为定值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理得y22pmy6p0，由根与系数的关系可知，y1y22pm，y1y26p，则x1x2，由x1x2y1y2y
15、1y296p6，解得p，所以y2x.(2)证明：由题意得k1，k2，所以m，m，所以2m2222m22m212m362m22m212m362m2，由(1)可知，y1y22pmm，y1y26p3，所以2m22m212m362m224，所以2m2为定值考向3 探索性问题例5如图，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)线段AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)由P在椭圆上，得1，因为e，所
16、以a2c，则代入解得c21，a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)，代入椭圆方程并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x21，则有x1x2，x1x2，在方程中令x4得，M的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.因为A，F，B三点共线，所以kkAFkBF，即有k.所以k1k22k2k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化其步骤为：假设满足
17、条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2019南通市高三阶段测试)已知A(2,0)，B(2,0)，点C，D依次满足|2，()(1)求点D的轨迹；(2)过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，设点Q的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PA，PB都相切，若存在，求出P点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由解(1)设
18、C(x0，y0)，D(x，y)，则(x02，y0)，(4,0)，()(x2，y)，则有代入|2(x02)2y4得x2y21.点D的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆(2)由题意可知直线l斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，椭圆的方程1(a24)，由l与圆相切得1，即k2，将代入得(a2k2a24)x24a2k2x4a2k2a44a20，又k2，可得(a23)x2a2xa44a20，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，|x1x2|，解得a28或a2(舍去)，椭圆方程为1.(3)假设存在椭圆上的一点P(x0，y0)，使得直线PA，PB与以Q为圆心的圆相切，则Q到直线PA，PB的距离相等，又A(
19、2,0)，B(2,0)，则直线PB的方程为(x02)yy0x2y00，直线PA的方程为(x02)yy0x2y00.设d1为Q到直线PB的距离，d2为Q到直线PA的距离，则d1d2，化简整理得x5x04y0.P点在椭圆上，x2y8.解得x02或x08(舍去)x02时，y0，r1.椭圆上存在点P，其坐标为(2，)或(2，)，使得直线PF1，PF2与以Q为圆心的圆(x1)2y21相切真题押题真题模拟1(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面
20、积解(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2| 2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23) .设M为线段AB的中点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解
21、得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.2(2019天津市高三4月联考)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，过右焦点F2且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|3，F1GH的周长为8.过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF2交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P.(1)求椭圆的标准方程；(2)若AMN的面积为，求直线MN的方程；(3)证明：点P在定直线上解(1)由题意知|GH|3,4a8，解得a2，b，所以椭圆方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)当直线MN斜率k存在时，设直线MN方
22、程为yk(x1)，代入椭圆方程并整理，得(4k23)x28k2x4k2120，144(k21)0，x1x2，x1x2，|MN|.A(2,0)到直线MN：kxyk0的距离为d，SAMNd|MN|，化简得17k4k2180，解得k1.当k1时，直线MN过点F2(1,0)，直线MN与椭圆的交点不在第一象限(舍去)所以直线MN的方程为xy10.当直线MN斜率k不存在时，则直线MN的方程为x1，SAMN(ac)(舍去)综上，直线MN的方程为xy10.(3)证明：设直线AM：yk1(x2)(k10)，与椭圆方程联立得(4k3)x216kx16k120，xM，yM同理设直线BN：yk2(x2)(k20)，可
23、得xN，yN，所以直线MN的方程为，以及直线MN方程过点F2(1,0)，将F2，M，N坐标代入可得，(4k1k23)(k23k1)0，k1k20，k23k1.又因为直线AM与直线NB交于P点，即xP，将k23k1代入得xP4，所以点P在定直线x4上3(2019江西省八所重点中学高三4月联考)已知椭圆E：1(ab0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2.(1)求椭圆E的长轴A1A2的最小值，并确定此时椭圆E的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆E，设过定点M(2,0)的直线l与椭圆E相交于P，Q两点，若，当时，求OPQ面积S的取值范围解(1)依题意
24、，四边形F1B1F2B2的面积为2bc，2bc2，长轴A1A22a222，此时bc1，a，故长轴A1A2的最小值为2，此时椭圆E的方程为y21.(2)依题意，可设l：xty2，联立得(t22)y24ty20，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由16t242(t22)8t2160，可得t22，且且已知M(2,0)，由，可得y1y2，2，2，t20，SSOMQSOMP|OM|y1y2|y1y2| ，设m，m，t2m22，S，m在m单调递减，故S关于m在上单调递增，S.4(2019玉溪市第一中学高三下学期第五次调研)已知抛物线x22py(p0)，准线方程为y20，直线l过定点T(0，t)(t0)
25、，且与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当t1时，设，记|AB|f()，求f()的最小值及取最小值时对应的.解(1)2，p4，抛物线方程为x28y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据题意知直线l的斜率存在，设l：ykxt(t0)，联立得x28kx8t0，x1x28k，x1x28t.y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2t2，x1x2y1y2t28t.由于T(0，t)为定点，故t为定值，为定值(3)T(0,1)，(x1,1y1)，(x2，y21)，x1x2,1y1(y21)
26、，x1x2，由(2)知x1x28t8，x8，x，且0，又x1x2(1)x28k，(1)2x64k2，当k0时，1，x，k2.当k0时，1，符合上式，且|AB|4.|AB| ，令m，则m2，|AB|，当m2即1时，|AB|min4.金版押题5已知直线l1：axy10，直线l2：x5ay5a0，直线l1与l2的交点为M，点M的轨迹为曲线C.(1)当a变化时，求曲线C的方程；(2)已知点D(2,0)，过点E(2,0)的直线l与C交于A，B两点，求ABD面积的最大值解(1)由消去a，得曲线C的方程为y21.y1，即点(0，1)不在曲线C上，此步对考生不作要求(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
27、l为xmy2，由得(m25)y24my10，则y1y2，y1y2，ABD的面积S2|y2y1|22 ，设t，t1，)，则S，当t(t1，)，即t2，m时，ABD的面积取得最大值.6已知抛物线C：y22px(p0)与直线xy40相切(1)求该抛物线的方程；(2)在x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得为定值如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由解(1)联立方程有有y22py8p0，由于直线与抛物线相切，得8p232p0，p4，所以y28x.(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m0)，直线l：xtym，有整理得y28ty8m0，设A(x
28、1，y1)，B(x2，y2)，有y1y28t，y1y28m，|AM|2(x1m)2y(t21)y，|BM|2(x2m)2y(t21)y，当m4时，为定值，所以M(4,0)配套作业1已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，直线x4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2(y1)21相交于B，C两点(A，B两点相邻)，过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求ABM与CDM面积之积的最小值解(1)由已知P(4,0)，Q，|QF|.|QF|PQ|，得p2.抛物线方程为x24y.(2)由题意
29、可知，l斜率存在设l：ykx1.A(x1，y1)，D(x2，y2)设M(x0，y0)，则过A，D的弦方程可设为：xx02y02y即yxy0，即M(2k，1)M到l的距离d2.SABMSCDM|AB|CD|d2(|AF|1)(|DF|1)d2y1y2d2d2，又由联立得，x24kx40，x1x24.SABMSCDM(2)21k21.当且仅当k0时取等号当k0时，ABM与CDM面积之积的最小值为1.2(2019福建省高三3月质量检测)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x1)2y21外的点P在y轴的右侧运动，且点P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离，记点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)如
30、图，过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：AMB的面积是AMN的面积的4倍解解法一：(1)设P(x，y)，依题意x0，F(1，0)因为点P在圆F外，所以点P到圆F上的点的最小距离为|PF|1，依题意得|PF|1x，即1x，化简得点P的轨迹E的方程为y24x(x0)(2)证明：设N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D.依题意可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程yk(x1)(k0)，由得k2x2(2k24)xk20.因为(2k24)24k416k2160，所以x1x2，x1x21，则有y1y2，故D，由抛物线
31、的定义知|AB|x1x22.设M(xM，yM)，依题意得yM，所以|MD|xM.又因为|MD|，所以xM，解得xM1，所以M，因为N在抛物线上，所以x0，即N，所以SAMB|MD|y1y2|y1y2|，SAMN|MN|y1yD|y1y2|y1y2|，故SAMB4SAMN.解法二：(1)设P(x，y)，依题意x0.因为点P在圆F外，所以点P到圆F上的点的最小距离为|PF|1.依题意得，点P到圆F(1,0)的距离|PF|等于P到直线x1的距离，所以点P在以F(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线上所以E的方程为y24x(x0)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB过F(1,0
32、)，依题意可设其方程xty1(t0)，由得y24ty40，因为16t2160，所以y1y24t，则有x1x2(ty11)(ty21)4t22.因为D是AB的中点，所以D(2t21,2t)由抛物线的定义得|AB|(x11)(x21)4t24，设圆D与l：xm相切于M，因为DM与抛物线相交于N，所以mb0)上两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，M为椭圆C上一动点，点P(3,0)，线段PM的垂直平分线交y轴于点Q，求|OQ|的最小值解(1)代入A，B两点坐标，得1，1，解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设点M的坐标为(x0，y0)，则1，可得x63y，线段PM的中点
33、N，kQNkPM1，可得kQN，所以lQN：y.令x0，并结合式得yQ，|OQ|yQ|y0|2，当且仅当|y0|，y0时取等号，所以|OQ|的最小值为.4(2019郴州市高三第二次教学质量监测)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点(1)若以A，B为直径的圆的方程为(x2)2(y3)216，求抛物线C的标准方程；(2)过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，证明：l1，l2的交点在定直线上解(1)设AB的中点为M，A到准线的距离为d1，B到准线的距离为d2，M到准线的距离为d.则dyM.由抛物线的定义可知，d1AF，d2BF，所以d1d2AB8，由梯形中位线定
34、理可得d4，所以yM4，而yM3，所以34，可得p2，所以抛物线C：x24y.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x22py得y，则y，所以直线l1的方程为yy1(xx1)，直线l2的方程为yy2(xx2)，联立得x，y，即l1，l2交点坐标为，因为AB过焦点F，所以设直线AB的方程为ykx，代入抛物线x22py中得，x22pkxp20，所以x1x2p2，所以，所以l1，l2的交点在定直线y上5已知动圆C与圆x2y22x0外切，与圆x2y22x240内切(1)试求动圆圆心C的轨迹方程；(2)过定点P(0,2)且斜率为k(k0)的直线l与(1)中的轨迹交于不同的两点M，N，试判断
35、在x轴上是否存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的范围；若不存在，请说明理由解(1)由x2y22x0得(x1)2y21，由x2y22x240得(x1)2y225，设动圆C的半径为R，两圆的圆心分别为F1(1,0)，F2(1,0)，则|CF1|R1，|CF2|5R，所以|CF1|CF2|6，根据椭圆的定义可知，点C的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，所以c1，a3，所以b2a2c2918，所以动圆圆心C的轨迹方程为1.(2)存在直线l的方程为ykx2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为E(x0，y0)假设存在点A(m，0)，使得以AM，A
36、N为邻边的平行四边形为菱形，则AEMN，由得(89k2)x236kx360，x1x2，所以x0，y0kx02，因为AEMN，所以kAE，即，所以m，当k0时，9k212，所以m0；当k0时，9k12，所以0b0)，抛物线x28y的焦点为F(0,2)，b2，方程2x23x200即(2x5)(x4)0，2c4，即c2，a2b2c216，椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为yxt，由得x2txt2120，t24(t212)0，4tb0)，F1，F2分别为其左、右焦点，过F1的直线与此椭圆相交于D，E两点，且F2DE的周长为8，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的
37、方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)与点Q(0,2)，过P的动直线l(不与x轴平行)与椭圆相交于A，B两点，点B1是点B关于y轴的对称点求证：Q，A，B1三点共线；.解(1)F2DE的周长为8，4a8，即a2，e，c，b2a2c22，故椭圆C的方程为1.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，A，B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B1三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为ykx1，联立得(12k2)x24kx20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则B1(x2，y2)，x1x2，x1x2，(x1，y12)，(x2，y22)，x1(y22)x2(y12)x1(kx21)
38、x2(kx11)2kx1x2(x1x2)0.与共线，则Q，A，B1三点共线由可知Q，A，B1三点共线，当直线l的斜率存在时，当直线l的斜率不存在时，易知A，B两点坐标为(0，)，有，综上，.解析几何类解答题(12分)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2，由M(a，b)，N(a，b)，F2和F1四个点构成了一个高为，面积为3的等腰梯形(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求F2AB面积的最大值解题思路(1)由梯形的高得出椭圆的基本量b的值，由梯形的面积得出ac，利用a2c2b2求出a，c，写出椭圆的方程；(2)先依题判断过点F1的直线AB的斜率不为0，设出直线
39、的方程，将直线方程代入椭圆方程，消去x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，即可得到y1y2和y1y2，将F2AB的面积表示为SF2AB|F1F2|y1y2|，构造函数，利用函数的单调性即可求最大值解(1)由条件，得b，且3，ac3.(2分)又a2c23，解得a2，c1.(4分)椭圆的方程为1.(5分)(2)显然，直线AB的斜率不能为0，设直线AB的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程，得消去x得，(3m24)y26my90，(6分)36m236(3m24)0，y1y2，y1y2，(8分)SF2AB|F1F2|y1y2|y1y2| 1244.(10分)令tm211，设
40、f(t)t(t1)，易知函数f(t)在1，)上单调递增，当tm211，即m0时，f(t)min，此时SF2AB取得最大值为3.(12分)1由梯形的面积得到a与c的关系给2分2由a2c2b2得到a与c的值给2分3正确写出椭圆方程给1分4联立方程消元得到一元二次方程给1分5写出“0”和根与系数的关系给2分6构建目标变量的函数关系给2分7通过求解函数的值域，确定面积的最值给2分1写全得分步骤，直线方程和曲线方程联立后，要写出0和根与系数的关系，这是解题过程中的得分点2写明得分关键，在求解函数的最值时，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件，不指明最值取得的条件扣1分跟踪训练(2019福建省高三模拟
41、)(12分)已知椭圆C：1(ab0)过点，且它的焦距是短轴长的倍(1)求椭圆C的方程；(2)若A，B是椭圆C上的两个动点(A，B两点不关于x轴对称)，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数，使当k1k2时，AOB的面积S为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)因为椭圆C：1(ab0)过点，所以1，(1分)又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍，所以cb，从而a2b2c24b2.联立方程组(2分)解得所以椭圆C的方程为y21.(3分)(2)设存在这样的常数，使k1k2，AOB的面积S为定值(4分)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则由k1k2知y1y2x1x20，(kx1m)(kx2m)x1x20，所以(k2)x1x2km(x1x2)m20.(5分)联立方程组消去y得(14k2)x28kmx4m240.所以(7分)点O到直线AB的距离d，AOB的面积S|AB|d|x1x2|.(8分)将代入得(k2)(4m24)8k2m2m2(14k2)0，化简得m2，(10分)将代入得2，(11分)要使上式为定值，只需，即需(41)20，从而，此时2，S1，所以存在这样的常数，此时SAOB1.(12分)