1、1.7定积分的简单应用内容标准学科素养1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积；2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题；学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值.培养直观想象训练逻辑思维提升数学运算授课提示：对应学生用书第29页基础认识知识点一定积分在几何中的应用怎样利用定积分求不分割型图形的面积？提示：求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可知识梳理(1)当xa，b时，若f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积S_f(x)dx.(2)当xa，b时，若f(x)0，由直
2、线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积S_f(x)dx.(3)如图，当xa，b时，若f(x)g(x)0，由直线xa，xb(ab)和曲线yf(x)，yg(x)所围成的平面图形的面积S_f(x)g(x)dx.知识点二变速直线运动的路程变速直线运动的路程和位移相同吗？提示：不同路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念知识梳理(1)当v(t)0时，求某一时间段内的路程和位移均用 v(t)dt求解(2)当v(t)0时，求某一时间段内的位移用 v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为 v(t)dt.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(
3、t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即S_v(t)dx.知识点三变力做功问题恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为WFs，那么变力做功问题怎样解决？提示：与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从xa到xb(ab)，可以利用定积分得到W F(x)dx.知识梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x)所做的功为_F(x)dx.自我检测1由直线x0、x、y0与曲线y2sin x所围成的图形的面积等于()A3 B.C1 D.解析：答案：A2已知自由落体的速率vgt，则落体从t0到
4、tt0所走的路程为()A.gt Bgt C.gt D.gt解析：如果变速直线运动的速度为vv(t)(v(t)0)，那么从时刻ta到tb所经过的路程是 v(t)dt，答案：C3若两曲线yx2与ycx3(c0)围成的图形的面积是，则c_.解析：由x2cx3，得x0或x，答案：授课提示：对应学生用书第29页究一求图形面积例1求曲线y2xx2，y2x24x所围成图形的面积解析画出图形如图中阴影部分所示，由得x10，x22，故阴影部分的面积S (2xx2)(2x24x)dx (6x3x2)dx(3x2x3)|4.方法技巧(1)对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义先确定积分上、下限，一般
5、为两交点的横坐标，再确定被积函数，一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差这样求面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分问题了注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零，而平面图形的面积总是非负的(2)图形面积需分割求解的解题技巧由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线可能不同求解时，根据图形，求出需用到的曲线交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是“上减下”跟踪探究1.求由曲线yx21，直线xy3，x轴，y轴所围成的平面图形的面积解析：作出曲线yx21，直线xy3的
6、草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积，由得第一象限中交点的横坐标为1，故所求面积SS1S2 (x21)dx (3x)dx|.探究二定积分在物理中的应用例2一点在直线上从时刻t0(单位：s)开始以速度v(t)t24t3(单位：m/s)运动，求：(1)该点在t4 s时的路程；(2)该点在t4 s时的位移解析(1)由v(t)t24t3(t1)(t3)，得当0t1或3t4时，v(t)0；当1t3时，v(t)0，所以在t4 s时的路程为s (t24t3)dt (t24t3)dt (t24t3)dt|4(m)(2)在t4 s时的位移为s1 (t24t3)dt|(m)方法技巧(1)求变速直线运动的物
7、体的路程(位移)方法用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v(t)在时间区间内是否为正值；若v(t)0，则运动物体的路程为s v(t)dt；若v(t)0，则运动物体的路程为s |v(t)|dt v(t)dt；注意路程与位移的区别(2)求变力做功的方法步骤首先要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移；利用变力做功的公式W F(x)dx计算；注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳跟踪探究2.一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力位移曲线如图所示求该物体从x0处运动到x4(单位：m)处力F(x)做的功解析：由力位移曲线可知F(x)因此
8、该物体从x0处运动到x4处力F(x)做的功W 10dx (3x4)dx10x|46(J).授课提示：对应学生用书第30页课后小结对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标；(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的 素养培优忽略路程与位移的区别而致误易错案例：一辆汽车以32 m/s的速度行驶在公路上，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a8 m/s2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，该汽车行驶的路程为()A128 m B64 mC32 m D80 m易错分析：路程是定积分的绝对值和，而位移则是定积分的代数和，不可混淆考查概念区别、数学运算等核心素养自我纠正：由匀减速运动可得vtv0at，其中v032 m/s，a8 m/s2，故vt328t.令vt0，即328t，解得t4，即刹车时间为4 s故从开始刹车到停车，该汽车行驶的路程为s (328t)dt(32t4t2)|64(m)答案：B
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