1、第3课时函数的表示方法 教学过程一、 问题情境问题1教材P23中的3个函数问题在表示方法上有什么区别?回顾教材第2.1.1节开头的3个函数问题:(1) 在第一个问题中,只要知道某个年份,就能从下表中查得相应的人口数.年份194919541959196419691974人口数/百万542603672705807909年份19791984198919941999人口数/百万9751035110711771246这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.(2) 在第二个问题中,下落的距离y(单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9x2(x0).这种用等式来表示两个
2、变量之间函数关系的方法称为解析法.(3) 在第三个问题中,我们用图象(如图1)表示时刻和气温的关系.这种用图象来表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.(图1)问题2观察3个函数问题,你能说出各种函数表达形式上的特点吗?问题3如何用数学语言来准确地描述函数表示法?问题4你能说出几种函数表示法的优缺点吗?二、 数学建构(一) 生成概念函数的三种表示方法:(1) 解析法:将两个变量的函数关系用一个等式来表示,如y=3x2+2x+1, S=r2, c=2r, S=6t2等.(2) 列表法:列出表格表示两个变量的函数关系,如平方表、三角函数表、利息表、列车时刻表、国民生产总值表等.(3) 图象法:用
3、图象来表示两个变量的函数关系,如图2.(图2)(二) 理解概念解析法的优点:简明,全面地概括了变量之间的关系;可以通过解析式求出自变量的任意一个值所对应的函数值.列表法的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.图象法的优点:直观形象地表示了变化趋势.三、 数学运用【例1】(教材P33例1)购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x1, 2, 3, 4)的函数,并指出该函数的值域.(见学生用书课堂本P15)(例1)处理建议以前初中所学的函数图象通常是一条连续的线,但是函数图象具有多样性,也可以是一些孤立的点.引导学生体会函数的
4、对应关系以及实际问题的定义域.规范板书解(1) 解析法:y=2x, x1, 2, 3, 4. (2) 列表法:x/听1234y/元2468(3) 图象法:图象由点(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)组成,如图,函数的值域是2, 4, 6, 8.题后反思函数的图象可以是不连续的散点,实际问题要考虑自变量的实际意义.变式 小明粉刷他的卧室共花去10h,他记录的完成工作量的百分数如下表:时间/h12345678910完成的百分数/%52535505065708095100(1) 5h他完成工作量的百分数是50%;(2) 小明在第 2 h内的工作量最大.题后反思充分体现了列表法
5、的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.【例2】(教材P34例2)画出函数f(x)=|x|的图象,并求出f(-3), f(3), f(-1), f(1)的值.(见学生用书课堂本P15)处理建议对于含有绝对值的函数解析式,通常通过去绝对值符号写成分段形式,然后再分别处理.去绝对值通常采用“零点”分类法,即使绝对值里的式子为0,从而解出对应的x的值作为分点,再进行讨论.规范板书解因为f(x)=|x|=(例2)所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一、二象限的一条折线,如图.其中f(-3)=3, f(3)=3, f(-1)=1, f(1)=1.题后反思通过本例我们可以发现,有些
6、函数在它的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,对应法则不同,这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数,而不是几个函数. 变式作出分段函数y=|x-1|+|x+2|的图象.规范板书解根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即y=|x-1|+|x+2|=作出图象如下:(变式)【例3】某市郊区空调公共汽车的票价按下列规则制定:(1) 5 km以内,票价2元;(2) 5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km按5 km计算).已知两个相邻的公共汽车站台之间相距约为1 km,如果沿途(包括起点站和终点站)共20个汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.(
7、见学生用书课堂本P16)处理建议分段函数是函数表示的另一种形式,它在定义域内不同部分上有不同的解析式,其中定义域是自变量在不同部分上取值的并集,要从整体上把握分段函数.本例是一个实际问题,有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.规范板书解设里程为x km时,票价为y元,根据题意,如果某空调公共汽车运行路线中共20个汽车站(包括起点站和终点站),那么该车行驶的里程约为19 km,所以自变量x的取值范围是x| x19, xN*.由空调公共汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:y=(xN*).根据这个函数解析式,可画出函数的图象,如下图所示:(例3)题后反思
8、 本题具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义; 本题可否用列表法表示函数?如果可以,应怎样列表?变式如图,在梯形ABCD中,B=C=90, D=45, AB=BC=2cm.现有一动点Q从B点出发沿BCDA的方向移到A点.若Q点经过的路程为xcm, QAB的面积为ycm2,试写出y与x之间的函数关系式,并画出该函数的图象.(变式)处理建议引导学生写出动点Q在BC段、CD段、DA段这三段上的函数关系式,并注意x的范围.规范板书解如图,作AECD于点E,于是DE=AE=2cm, DA=2cm.(1) 当点Q在线段BC上运动时,y=ABQB=2x=x,其中0x2;(2) 当点Q在线段CD上运动时,y
9、=ABBC=22=2,其中2x6;(3) 当点Q在DA上运动时,过点Q作GFBC并交BA的延长线于点G,交CD于点F,则AQ=BC+CD+DA-x=6+2-x, GQ=AQsin45=(6+2-x), y=ABGQ=2(6+2-x)=2+3-x,其中6x6+2.综上,y与x之间的函数关系式为y=该函数的图象如下题后反思对于此类图形面积的问题,常常需要画出图形,分析情况,分类讨论才能解决;最后要写成一个函数的形式.【例4】已知函数f(x)= 求f, fff(-2)的值.(见学生用书课堂本P16)处理建议题中f(x)为分段函数,应分段求解.规范板书解 1-=1-(+1)=-1,即x, f(3x-1
10、)=1+=;若-13x-11,即0x, f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;若3x-1-1,即x0, f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1. f(3x-1)=(2) f(a)=, 当a1时,有1+=, a=2;当-1a1时,a2+1=, a=.综上所述, a=2或.题后反思处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值属于哪个区间段,然后选取相应的对应法则,离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.*【例5】已知函数y=f(x)满足f=,求函数y=f(x)的解析式.规范板书解 f=, 0, f(x)=(x0).题后反思 本题将原解析式右边配凑变量,并看成整体替换成变量x
11、,从而得到f(x)的解析式. 本题也可以运用换元法求解,其过程如下:设=t,则x=,代入f=,得f(t)=.又t=0, f(x)=(x0). 需要注意的是,无论是用“配凑法”,还是用“换元法”,在求出y=f(x)的解析式以后,都需要指出其定义域.变式已知f(x)-f=x2,求函数f(x)的解析式.规范板书解因为f(x)-f=x2,将中的x换为,得f-f(x)=.由和两式,消去f,得f(x)=x2+.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2+.题后反思对于在已知式中,含有两个不同变量的函数关系时,常常采用“方程组消参法”解决,即依据两个变量的关系,重新产生一个关于两个变量的同等式,再联立方程组而得函数解析式.四、 课堂练习1. 已知函数f(x)=若f(x)=3,则x=.提示分三段求解.2. 已知函数f(x)=则fff(-1)=+1.提示fff(-1)=ff(0)=f()=+1.3. 已知函数f(x), g(x)分别由下表给出:x123f(x)131x123g(x)321则fg(1)的值为1;满足fg(x)gf(x)的x的值是2.五、 课堂小结本节课归纳了函数的三种表示方法及优缺点,讲述了分段函数的概念,了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线.
