1、天津市南开区 20202021 学年度第二学期高二年级数学学科期末考试试卷题号一二三总分1617181920得分本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷（选择题共 50 分）得分评卷人一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 A=1,2,3,4，集合 B=x x2 4，则 A RB=（）（A）（B）1,2（C）1,1（D）2,1,1,22.已知 P(B|A)=13,P(A)=25，则 P(AB)等于（）（A）215（B）115（C）56（D）9103.已知 x,y R，则“xy 1
2、”是“0 x b c（B）a c b（C）c b a（D）c a b7.已知 1 号箱有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2号箱，然后从 2 号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（）（A）38（B）1127（C）1124（D）8278.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 4 次试验，测得的数据如下，根据下表可得经验回归方程 y=8x+11，则实数 a 的值为（）零件数 x（个）2345加工时间 y（分钟）30a4050（A）34（B）35（C）36（D）379.设 f(x)是函数 f(x)
3、的导函数，y=f(x)的图象如右图所示，则 y=f(x)的图象最有可能的是（）xyO 12（A）xyO12（B）xyO21（C）xyO21（D）xyO2110.已知函数 f(x)=2x 1,0 x 2,x2,2 x 0,g(x)=ax+1，对 x1 2,2,x2 2,2，使 g(x1)=f(x2)成立，则实数 a 的取值范围是（）（A）1,1（B）1,52（C）2,2（D）52,52第 II 卷（共 100 分）得分评卷人二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分11.下面是一个 22 列联表，则表中 a 处的值为y1y2合计x1ab73x2225c合计d4612.计算：l
4、og 12 3 log9 823=13.将甲、乙、丙、丁 4 名志愿者分配到 A,B,C 三个小组，每个小组至少分配 1 人，其中甲、乙两人被分配到同一小组的不同分法的种数为14.若随机变量 服从正态分布 N(,2),P(+)=0.6827,P(2 0（I）若 a b，试比较 f(a),f(b)的大小；（II）若存在实数 x 12,32，使得不等式 f(x c)+f(x c2)0 成立，求实数 c 的取值范围得分评卷人19.（本题满分 15 分）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从 10 篇古诗词中随机抽 3 篇让学生背诵，规定至少要背出其中2 篇才能过关某同学只能背诵其中的 6 篇，试求
5、：（I）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布；（II）他能过关的概率得分评卷人20.（本题满分 16 分）设函数 f(x)=12x2+a ln x(a 0)（I）若函数 f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线斜率为 12，求实数 a 的值；（II）求 f(x)的单调区间；（III）设 g(x)=x2 (1 a)x，当 a 1 时，讨论 f(x)与 g(x)图象交点的个数第 2 页天津市南开区 20202021 学年度第二学期高二年级数学学科期末考试试卷参考答案1.B解：因为 B=x|x 2，所以 RB=x|2 x 2 A RB=1,22.A解：P(AB)=P(A)P(B|A)=2153.B解
6、：当 xy 1 且 y 1y，因此充分性不成立当 0 x 0，因此有 xy 1 成立所以，“xy 1”是“0 x 0,f(4)=32 2 1,b c b7.D解：记“从 1 号箱出取出红球”为事件 A，“从 2 号箱中取出红球”为事件 BP(AB)=46 49=8278.C解：依题意得 x=2+3+4+54=72因为回归方程 y=8x+11 经过点(x,y)，所以 y=39，即 30+a+40+504=39，解得 a=369.A解：由 f(x)的图象可知，x 0 时，f(x)单调递增，0 x 2 时，f(x)单调递增所以，f(x)的极大值点为 0，极小值点为 2，故 C 项正确10.A解：当
7、x 2,0)时，f(x)单调递增，其值域为 4,0)；当 x 0,2 时，f(x)单调递增，其值域为0,3故 f(x)的值域为 4,3记 A=4,3,g(x)在 2,2 上的值域为 B，依题意可知 B A当 a 0 时，g(x)单调递增，B=2a+1,2a+1，此时有a 0,2a+1 4,2a+1 3,解得 0 a 1当 a=0 时，B=1，符合题意当 a 0 时，B=2a+1,2a+1，此时有a 0,2a+1 4,2a+1 3,解得 1 a 0,b 0,9a2+b2=1，所以，1=9a2+b2 6ab ab 16 1ab 6，当且仅当 a=26,b=22 时等号成立所以ab3a+b=a2b2
8、(3a+b)2=a2b21+6ab=11a2b2+6ab=1 1ab+32 9 1(6+3)2 9=212,当且仅当 a=26,b=22 时等号成立解 2：因为 a 0,b 0,9a2+b2=1,21a+1ba2+b22，所以ab3a+b=11a+3b=11a+1b3 12 a2+b322=212.当且仅当 a=26,b=22 时等号成立16.（I）解：依题意得 C4nC2n=143 n 4,n(n1)(n2)(n3)24n(n1)2=143,解得 n=10（II）解：令 x=1，则有3x 12 3x10=1210=11024，所以，展开式的各项系数和为11024（III）解：3x 12 3x
9、10=x13 12x 1310，其通项为 Tk+1=Ck10 x1310k 12x 13k=12k Ck10 x102k3当 102k3 Z 时，Tk+1 为有理项，故 k=5 或 k=2所以，3x 12 3x10展开式中的有理项为 T6=638 和 T3=454 x217.（I）解：记“该同学参加计算机软件应用兴趣小组”为事件 A，“该同学参加数学建模兴趣小组”为事件 B依题意得，P(A)=0.6,P(B)=0.75，该同学没有参加过培训的概率为 P A B=P AP B=0.4 0.25=0.1，所以，该同学参加兴趣小组的概率为 1 0.1=0.9（II）解：依题意可知，的所有可能取值为
10、0,1,2,3,B(3,0.9),P(=k)=Ck30.9k0.13k,k=0,1,2,3所以，的分布列为：0123p0.0010.0270.2430.729第 3 页数学期望 E=np=3 0.9=2.718.（I）解：首先证明 f(x)在 R 上单调递增设 x1 x2，则 x1+x2 0,x1+x2 0，所以，f(x1)+f(x2)0因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以，f(x2)=f(x2)，故 f(x1)f(x2)b，所以 f(a)f(b)（II）解：依题意得 f(x c2)f(x c)=f(c x)因为 f(x)在 R 上单调递增，所以 x c2 c x，即 c2+c 2x 在 1
11、2,32上恒成立所以，c2+c (2x)max=1 c2+c 3，解得 1+132 c 131219.（I）解：记抽到他会背诵的古诗词的数量为 X，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，且 P(X=k)=Ck6C3k4C310,k=0,1,2,3所以，X 的概率分布列为P(X=0)=C34C310=4120=130P(X=1)=C16C24C310=36120=310P(X=2)=C26C14C310=60120=12P(X=3)=C36C310=20120=16X0123p1303101216（II）解：他能过关的概率为 P(X 2)=P(X=2)+P(X=3)=12+16=2320.（
12、I）解：因为 f(x)=x+ax，所以，f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线斜率 k=f(2)=2+a2=12，解得 a=3（II）解：f(x)的定义域为(0,+)，且 f(x)=x2+ax 由 f(x)=0 得 x=a当 0 x a 时，f(x)a 时，f(x)0,f(x)在(a,+)上单调递增（III）解：设 h(x)=f(x)g(x)=12x2+(1 a)x+a ln x(x 0)，则 a 1 时，f(x)与 g(x)图象交点的个数等价于 h(x)零点的个数h(x)=x+(1 a)+ax=(x+a)(x1)x(i)当 a=1 时，h(x)0,h(x)在(0,+)上单调递减因为 h(x
13、)=12x2+2x ln x,h(3)=32 ln 3=12(3 ln 9)0,h(4)=ln 4 0，所以，h(x)在(3,4)上有一个零点(ii)当 a 1由 h(x)0 得，1 x a,h(x)在(1,a)上单调递增由 h(x)0 得，0 x a,h(x)在(0,1),(a,+)上单调递减因为 h(1)=12 a 0,h(x)在(0,1)上单调递减，所以，x (0,1)时，h(x)0,h(x)没有零点因为 h(x)在(1,a)上单调递增，所以，h(a)h(1)0因为 2 2a=a+2 a a 1,h(2 2a)=a ln(2 2a)0，所以，h(x)在(a,2 2a)上有一个零点综上，a 1 时，f(x)与 g(x)的图象有一个交点第 4 页