1、规范答题必考大题突破课(五)解析几何题型一 直线与圆锥曲线的综合问题【真题示例】(12分)(2016天津高考)设椭圆=1(a )的右焦点为F,右顶点为A,已知其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程.(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(点B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.【信息解读】已知建立关于a的关系式,进而求得椭圆方程;BFHF,=0;MOA=MAO,MA=MO.【标准答案】由题意,如图所示,(1)已知所以2分 得分点解得a=2,所以椭圆方程为:1分 得分点(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为
2、y=k(x-2),设B(xB,yB),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x=由题意得xB=从而yB=,3分 得分点由(1)知F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),由HFFB,得 =0,所以2分 得分点解得yH=因此直线MH的方程为y=设M(xM,yM),由方程组消去y,得xM=,2分 得分点在MAO中,MOA=MAOMA=MO,即(xM-2)2+yM2xM2+yM2,化简得xM=1,即=1,解得k=或,所以直线l的斜率为或.2分 得分点【得分细则,答题规则】第(1)问踩点说明(针对得分点)利用已知条件正确表示出关于a的关系式得2
3、分;把解得a的值代入得到椭圆标准方程得1分.第(2)问踩点说明(针对得分点)得分点有3处:一是利用直线点斜式方程表示出直线l可得1分;二是联立直线l与椭圆方程,正确整理出消去y的一元二次方程,再得1分;三是正确求得xB,yB的表达式再得1分;得分点有2处:一是正确表示的坐标得1分;二是正确计算出 =0结果得1分;得分点有2处:一是正确表示出直线MH的方程得1分;二是联立直线l与直线MH的方程,正确求得xM的值得1分;得分点有2处:一是利用MA=MO条件正确表示出坐标关系式得1分;二是准确利用xM求得k的值得1分.答题规则1:写全解题步骤,步步为“赢”解题时,要将解题过程转化为得分点,对于是得分
4、点的解题步骤一定要写全,阅卷时根据步骤评分,有则得分,无则不得分,如果不全,就会失分.答题规则2:准确熟练应用平面几何知识平面几何知识的熟记与灵活应用是得分关键,本题中对垂直的条件、等角对等边等知识能够正确应用并写出相应步骤即可得分.【跟踪训练】(2016全国卷)已知A是椭圆E:=1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积.(2)当2|AM|=|AN|时,证明:k0,由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为,又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2,将x=y-2代入 =1,得7y2-12y=0.解得y=0或y
5、=因此AMN的面积为2(2)设直线AM的方程为y=k(x+2)(k0),代入得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,由x1(-2)=故|AM|=由题意设直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=由2|AM|=|AN|,得即4k3-6k2+3k-8=0,设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)上单调递增,又f()=15 -260,因此f(t)在(0,+)上有唯一的零点,且零点k在(,2)内,故kb0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且 =-1.(1)求椭圆E的方程.(
6、2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【信息解读】(1)椭圆的离心率,椭圆的离心率公式.=-1,向量的数量积公式.(2)动直线与椭圆交于A,B两点,直线方程与椭圆方程联立.【标准答案】(1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b),又点P的坐标为(0,1),且 =-1,于是3分解得a=2,b=.1分所以椭圆E的方程为 =1.1分(2)当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0,其判别式=(4k)2+8
7、(2k2+1)0,所以x1+x2=x1x2=2分从而=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=所以,当=1时,-2=-3,此时,=-3为定值.3分当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD,此时 =-2-.当=1时,-2-=-3,符合.故存在常数=1,使得为定值-3.2分【得分细则答题规则】第(1)问踩点说明(针对得分点):得分点有三处:一是由向量的数量积为-1,得出一个方程可得1分;二是由离心率得出一个方程再得1分;三是写出a,b,c之间的关系再得1分.由得分点中方程正确得出结果得1分.写出椭圆方程得1分.第(2)问踩点说
8、明(针对得分点):得分点有两处:一是联立直线与椭圆方程并消元得出关于x的一元二次方程可得1分;二是由根与系数的关系得出两根和与积再得1分.得分点有三处:一是由得出关于的代数式得1分;二是将的代数式适当变形得1分;三是得出的值再得1分.得分点有两处:一是验证斜率不存在时代数式的值得1分;二是得出最后结论得1分.答题规则1:写全解题步骤,步步为“赢”解题时,要将解题过程转化为得分点,对于是得分点的解题步骤一定要写全,阅卷时根据步骤评分,有则得分,无则不得分,如本题中应用离心率公式、向量的数量积公式、椭圆中a,b,c之间的关系,直线与椭圆方程联立化简、转化的步骤、以及向量数量积的运算的步骤等,如果不
9、全,就会失分.答题规则2:准确熟练应用离心率、弦长公式公式的熟记与灵活应用是得分关键,本题中应用公式较多,如离心率公式、一元二次方程根与系数的关系、向量的数量积,能够正确应用并写出相应步骤即可得分.【跟踪训练】(2017湖南模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知F1,F2分别是椭圆E:=1(ab0)的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,D(1,0)为线段OF2的中点,且 =0.(1)求椭圆E的方程.(2)若M为椭圆E上的动点(异于点A,B),连接MF1并延长交椭圆E于点N,连接MD,ND,并分别延长交椭圆E于点P,Q,连接PQ,设直线MN,PQ的斜率存在且分别为k1,k2.试问是否存在常数,使得k1+k2=0恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为 =0,所以 ,所以a+c=5(a-c),化简得2a=3c,点D(1,0)为线段OF2的中点,所以c=2,从而a=3,b=,左焦点F1(-2,0),故椭圆E的方程为(2)存在满足条件的常数,=-.理由如下:设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),则kMD=直线MD的方程为y=(x-1),即x=+1,代入椭圆方程整理得,因为三点M,F1,N共线,所以从而x1y2-x2y1=2(y1-y2),从而存在满足条件的常数,=-.
