1、第四讲 专题提能“解析几何”专题提能课失误1因忽视方程的标准形式而失误例1已知抛物线的方程为y2ax2(a0)，则它的焦点坐标为_解析y2ax2(a0，标准方程中一次项系数的绝对值为2p，求出p后再研究抛物线的几何性质，结合图形去考虑.失误2因忽视圆方程本身的限制条件而失误例2过定点(1,2)作两直线与圆x2y2kx2yk2150相切，则k的取值范围是_解析把圆的方程化为标准方程得，2(y1)216k2，所以16k20，解得k0，即(k2)(k3)0，解得k2.综上，k的取值范围是.答案点评本题易错在于忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑D2E24F0.本例应把圆的方程化为标准方程后，根
2、据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关于k的关系式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k的取值范围.失误3因忽视斜率不存在的情况而失分例3已知过点(1,2)的直线l与圆x2y24交于A，B两点，弦长AB2，求直线l的方程解当过点(1,2)的直线l斜率不存在时，满足要求，所以方程x1满足题意；当过点(1,2)的直线l存在斜率时，记l的方程为y2k(x1)，即kxy2k0，由弦长为2可得圆心到直线的距离为1，则d1，解得k，所以直线l的方程为y2(x1)，即3
3、x4y50.所以所求直线l的方程为x1和3x4y50.点评本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况，在用斜率研究直线方程首先考虑斜率不存在的情况给定弦长，一般都有两解，除非弦长值就是直径的值，此时只有一解策略1利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题例1如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率为_解析法一：由可得B，C.由F(c,0)，得，.又BFC90，所以0，化简可得2a23c2，即e2，故e.法二：由可得B，C，所以BCa，由椭圆的焦半径公式得BFaexBaea，CFaexCaea，又BFC90，所以BF2CF2BC
4、2，即22(a)2，式子两边同除以a2可得e2，即e.答案点评本题中B，C两点是关于y轴对称，对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助.策略2利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题例2若双曲线1(a0，b0)右支上存在一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的取值范围为_解析记双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，设点P到右准线的距离为d，则由题意得点P到左焦点的距离为PF16d，由于PF1PF22a，所以PF26d2a，所以，所以d，又因为da，所以解之得此双曲线的离心率e的取值范围是(1,23,6)答案(1,23,6)点评一般地，根据“存在一点”这样的条件
5、求解离心率的取值范围问题，主要是先利用几何条件建立关于a，b，c的方程，再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解函数方程思想解决平面几何中的最值问题典例在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：1(ab0)所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线若M是l与椭圆C2的交点，求AMB的面积的最小值解(1) 由题意得解得a28，b21. 所以所求椭圆C2的标准方程为y21.(2)法一：设M(x，y)，则A(y，x)(R，0)因为点A在
6、椭圆C2上，所以2(y28x2)8，即y28x2.又x28y28.得x2y2.所以SAMBOMOA|(x2y2).当且仅当1，即kAB1时，(SAMB)min. 法二：假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线的方程为ykx(k0)解方程组得x，y，所以OA2xy，AB24OA2.又由解得x，y，所以OM2.由于SAB2OM2，当且仅当18k2k28时等号成立，即k1时等号成立，此时AMB面积的最小值是SAMB.当k0时，SAMB412； 当k不存在时，SAMB222.综上所述，AMB面积的最小值为.点评第(2)问中有关三角形面积的计算一般用以下几种方式：(1)以弦长为底，点到弦所在直
7、线距离为高；(2)正弦定理；(3)如果弦所在直线过定点且顶点也为定点，可以将面积进行分割一般地，如果建立关于k的函数，可以用导数的方法或换元处理后用基本不等式方法；如果建立的关于(x，y)的函数可以直接用基本不等式或消元后转化成二次函数1多角度几何条件求解离心率例1如图，已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(1,0)，离心率为e，设A，B是椭圆上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上，设直线AB的斜率为k，若0b，a2b2c2.设A(x，y)，由0k，0，解得1a，e，椭圆离心率e的取值范围为.法二：由1k2.e，a，b2a211，1k2e2，k2.0k
8、2，0.解得e，又e1，e0，且x1x2，x1x2.由AMAN，得1，即(k21)x1x2(km2)(x1x2)m240，(k21)(km2)m240，化简得5m216km12k20，k0，5216120，解得或2(舍去)，直线MN：yk，过定点.法二：设直线AM：yk(x2)(k0)，则直线AN：y(x2)联立消去y，得(14k2)x216k2x16k240，则2xM，xM，yM.所以点M，同理点N，所以kMN，所以直线MN的方程为y，令y0，得x，所以直线MN过定点.法三：(考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题)同法二知，xM，xN，令k21，此时，直线MN过定点C.当
9、k21，kCM，kCN.kCMkCN，M，N，C三点共线，即直线MN过定点.点评直线过定点问题，可以设出直线方程ykxm，得出k与m的关系，从而得到过定点；也可以直接用k表示出新直线的方程，再求过定点；也可以先特殊得出定点，再用三点共线来论证一般情形课时达标训练A组易错清零练1过点P(2，1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为_解析：设所求直线的倾斜角为，则由题设知sin ，因为0b0)的右焦点F(c,0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_解析：法一：设椭圆的另一个焦点F1(c,0)，如图，连结QF1，QF，设QF与直线yx交于点M，又题意知M为线段QF的中点，且OMFQ，O为线段
10、F1F的中点，F1QOM，F1QQF，F1Q2OM.在RtMOF中，tanMOF，OFc.解得OM，MF，故QF2MF，QF12OM.由椭圆的定义QFQF12a，整理得bc，ac，故e.法二：设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标为，kFQ.依题意得解得又因为(x0，y0)在椭圆上，所以1.令e，则4e6e21，故离心率e.答案：4若椭圆1(ab0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为_. 解析：由题意，设点M的横坐标为x，根据焦半径公式得，aex2，x，有aa，不等式各边同除以a，得11，则1e2，即e23e20，又0e1，所以eb0)的左焦点，A，B分
11、别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为_解析：如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.答案：3设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析：依题意，直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，过O作OAMN，垂足为A，在RtOMA中，因为OMA45，故|OA|OM|sin 45|OM|1，所以|OM|，则，解
12、得1x11.答案：1,14已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|2c，若椭圆上存在点M使得，则该椭圆离心率的取值范围为_解析：在MF1F2中，而，.又M是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，|MF1|MF2|2a.由得，|MF1|，|MF2|.显然|MF2|MF1|，ac|MF2|ac，即ac0，e22e10，又0e1，1eb0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知
13、椭圆C经过P3，P4两点又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A，B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆
14、于C点，P为椭圆上弧AC上的一点(1)求证：A，C，T三点共线；(2)如果3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标解：(1)证明：设椭圆方程为1(ab0)，则A(0，b)，B(0，b)，T，AT：1，BF：1，联立，解得交点C，代入得：1.满足式，则C点在椭圆上，A，C，T三点共线(2)过C作CEx轴，垂足为E(图略)，则OBFECF.3，CEb，EFc，则C，代入得：1，a22c2，b2c2.设P(x0，y0)，则x02y2c2，此时C，ACc，SABC2cc2，直线AC的方程为x2y2c0，点P到直线AC的距离为d，SAPCdACcc.只需求x02y0的最大值(x02y0)2x4y22x0y0x4y2(xy)3(x2y)6c2，x02y0c，当且仅当x0y0c时，(x02y0)maxc.四边形的面积最大值为c2c2c2，c21，a22，b21，此时椭圆方程为y21，P点坐标.