1、温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一古典概型1.在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()A.B.C.D.2.(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.试用所给字母列举
2、出所有可能的抽取结果;设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.【解析】1.选A.在1,2,3,6中随机取出3个数,所有的结果为123,126,136,236,共4种,其中数字2是这3个数的平均数的结果只有123,所以由古典概型的概率公式得所求概率为.2.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,
3、E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共21种.由,不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共5种.所以,事件M发生的概率为P(M)=.1.求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.2.求基本事件个数的三种方法(1)列举法:把所有的基本事件一一列举出来,此方法适用
4、于情况相对简单的问题.(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数.(3)树状图法:树状图法是使用树的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段.考点二几何概型【典例】1.在区间-4,1上随机地取一个实数x,若x满足|x|a的概率为,则实数a的值为()A.B.1C.2D.32.如图,四边形ABCD为正方形,G为线段BC的中点,四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形,连接EB,CI,则向多边形AEFGHID中投掷一点,该点落在阴影部分内的概率为()A.
5、B.C.D.3.在球O内任取一点P,则点P在球O的内接正四面体中的概率是世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解题导思】序号联想解题1由在区间-4,1上随机地取一个实数x,联想到几何概型中应用长度计算概率2由“该点落在阴影部分内的概率”联想到几何概型中使用面积之比求概率3由已知联想到利用体积之比求概率【解析】1.选D.设集合A=x|x|0),若01,则P(A)=,解得a=3,符合题意.2.选A.设正方形ABCD的边长为1,则可求得S总=3,阴影部分为两个对称的三角形,又EAB=AGB,所以sinAGB=,S阴影=21=1,所以所求概率为P=.3.选C.设球O的半径为R,球O的内接正四面体的棱长为
6、a,所以正四面体的高为a,所以R2=+,即a=2R,所以正四面体的棱长为,底面面积为R=R2,高为,所以正四面体的体积为R3,又球O的体积为R3,所以P点在球O的内接正四面体中的概率为.1.与长度等有关的几何概型题目的解法 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度、弧长、角度等表示,则把题中所表示的几何模型化为长度、弧长、角度等,然后代入概率的计算公式求解.2.与面积有关的几何概型题目的解法求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解.3.与体积有关的几何概型题目的解法对于与体积有关的几何概
7、型问题,关键是计算问题的总体积以及事件的体积,对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.1.折扇由扇骨和扇面组成,初名腰扇,滥觞于汉末,曾是王公大人的宠物.到了明清时期在折扇扇面上题诗赋词作画,成为当时的一种时尚,并一直流行至今.现有一位折扇爱好者准备在如图的扇面上作画,由于突然停电,不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域,则墨汁恰好落入扇面的概率约为()A.B.C.D.【解析】选D.由题得,扇面的面积为S1=182-62=96,扇子的面积为S2=182=108,则墨汁恰好落入扇面的概率P=.2. (2019惠州模拟)我国古代数学家赵爽在周髀算经一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽的弦图.弦图是一
8、个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2勾股+(股-勾)2=4朱实+黄实=弦实=弦2,化简得:勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1,若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为()A.866 B.500C.300D.134【解析】选D.设勾为a,则股为a,所以弦为2a,小正方形的边长为a-a,所以题图中大正方形的面积为4a2,小正方形的面积为(-1)2a2,所以小正方形与大正方形的面积比为=1-,所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为1
9、 000134.3.在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD -A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为.【解析】正方体的体积为222=8,以O为球心,1为半径且在正方体内部的半球的体积为r3=13=,则点P到点O的距离大于1的概率为:1-=1-.答案:1-考点三古典概型与几何概型的综合问题命题精解读1.考什么:(1)考查数学文化背景下的古典概型与几何概型问题(2)考查与实际生活有关的概率问题2.怎么考:以数学文化或实际生活为载体考查概率问题3.新趋势:考查与向量、线性规划、函数等知识交汇的概率问题学霸好方法1.解决数
10、学文化背景下或实际生活中的概率问题的方法:充分读取题目信息,恰当转化为古典概型、几何概型问题,代入概率公式求解.2.考查与向量、线性规划、函数等知识交汇的概率问题:脱去向量、线性规划、函数的“外衣”,构造概率模型求解.与数学文化有关的古典概型、几何概型问题【典例】1.为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校购进了三国演义水浒传红楼梦和西游记若干套,如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍,那么该校高一(1)班本学期领到三国演义和水浒传的概率为()A.B.C.D.2.(2018全国卷I)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,
11、直角边AB,AC,ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为,在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则世纪金榜导学号()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3【解析】1.选D.记三国演义水浒传红楼梦和西游记为a 、b、c、d,则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab、ac、ad、bc、bd、 cd,共6种,符合条件的情况为ab共1种,故概率为.2.选A.方法一:取AB=AC=2,则BC=2,所以区域的面积为S=22=2,区域的面积为S=()2-2=-2,区域的面积为S=12-S=2,故p1=p2.方法二:设AC=b,A
12、B=c,BC=a,则有b2+c2=a2,从而可以求得ABC的面积为S=bc,黑色部分的面积为S=+-=+bc=+bc=bc,其余部分的面积为S=-bc=-bc,所以有S=S,根据面积型几何概型的概率公式,可以得到p1=p2.如何解决与数学文化有关的古典概型、几何概型问题?提示:读取数学文化背景下的题目信息,构建出古典概型、几何概型的数学模型,然后利用概率公式求解.与函数、向量、线性规划等知识交汇的古典概型、几何概型问题【典例】1.在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“-1lo1”发生的概率为()A.B.C.D.2.小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A
13、2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X0就去打球,若X=0就去唱歌,若X0就去下棋.世纪金榜导学号(1)写出数量积X的所有可能取值.(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【解析】1.选A.由-1lo1得x+2,即0x,故所求概率为=.2.(1)X的所有可能取值为-2 ,-1,0, 1. (2)数量积为-2的只有一种;数量积为-1的有,六种;数量积为0的有,四种;数量积为1的有,四种,所以所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为p1=.因为去唱歌的概率为p2=,所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-=.与实际
14、生活有关的古典概型、几何概型问题【典例】1.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现.如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法.ABC内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为世纪金榜导学号()A.B.C.D.2.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,向正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为世纪金榜导学号()A.B.C.D. 【解析】1.选C.由题得SABC=ah,S矩形=h,所以SABC=S矩形.所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面
15、积的四分之一,所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,故该点落在标记“盈”的区域的概率为.2.选B.向正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率P=,即=,解得S阴影=.如何解决与实际生活有关的古典概型、几何概型问题?提示:把实际生活中的语言转化为概率问题下的数学语言,正确解读题目中的已知与未知信息,设置变量,构成概率问题,然后求解.1.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.1【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】选B.5件产品中
16、有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A为“恰有一件次品”,则P(A)=0.6.2.现在某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m7,n9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为.【解析】因为正整数m的选取有1,2,3,4,5,6,7,共7种情况,而对于m的每一种取法,n可以取1,2,3,4,5,6,7,8,9,共
17、9种方法,所以基本事件空间中有79=63个元素,其中事件“m,n都取到奇数”包含的基本事件数为45=20,所以所求的概率为.答案:1.若a,b-1,0,1,2,则使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的概率为.【解析】要使方程有实数解,则a=0或所有可能的结果为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16个,其中符合要求的有13个,故所求概率P=.答案:2.甲、乙两人玩一种游戏,在装有质地、大小完全相同,编号分别为1,2,
18、3,4,5,6六个球的口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率.(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.【解析】(1)设“两个编号和为8”为事件A,则事件A包括的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个.又甲、乙两人取出的数字共有66=36种等可能的结果,故P(A)=.(2)这种游戏规则是公平的.设甲赢为事件B,乙赢为事件C,由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个.所以甲赢的概率P(B)=,故乙赢的概率P(C)=1-=P(B),所以这种游戏规则是公平的. 关闭Word文档返回原板块- 14 -
