1、第二讲 运用空间向量求角题型(一)运用空间向量求两直线所成的角主要考查用直线的方向向量求异面直线所成的角. 典例感悟例1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，且，PCAB.(1)求的值；(2)求异面直线PC与AC1所成角的余弦值解(1)设正三棱柱的棱长为2，取AC中点O，连结OB，则OBAC.以O为原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过点O且平行AA1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，所以(，1,0)，(0，2,2)，(，1，2)因为PCAB，
2、所以0，得()0，即()0，即(，2，22)(，1,0)0，解得.(2)由(1)知，(0,2,2)，cos ，所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.方法技巧1两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)2用向量法求异面直线所成角的四步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值演练冲关(2018无锡期末)如图，四棱锥PABCD中，PA
3、平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，BADCBA90，PAABBC1，AD2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点(1)求EF与DG所成角的余弦值；(2)若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点，E，F，G，设EF与DG所成的角为，则cos .EF与DG所成角的余弦值为.(
4、2)存在MN，使得MN平面PBC，理由如下：设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，(0,1,0)，(1,0，1)，即取x1，得n(1,0,1)，若存在MN，使得MN平面PBC，则n，设M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)，则点M，N分别是线段EF与DG上的点，t，(x2，y22，z2)，且把代入，得解得M，N.故存在两点M，N，使得MN平面PBC.题型(二)运用空间向量求直线和平面所成的角 考查用直线的方向向量与平面的法向量计算直线与平面所成的角. 典例感悟例2(2018苏州暑假测试)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，且PAABBCAD1，PA平
5、面ABCD.(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值；(2)棱PD上是否存在一点E满足AEC90？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由解(1)如图，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，从而(1,0，1)，(1,1，1)，(0,2，1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即不妨取z2，则y1，x1，所以平面PCD的一个法向量n(1,1,2)，此时cos，n，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为.(2)设 (01)，则E(0,2，1)则(1,21,1)，(0,
6、2，1)，由AEC90得2(21)(1)20，化简得，52410，该方程无解，所以棱PD上不存在一点E满足AEC90.方法技巧直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.演练冲关(2018南通、泰州一调)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQBB1(0)(1)若，求AP与AQ所成角的余弦值；(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45，求实数的值解：以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，A1(
7、0,0,2)，P(1,2,2)，Q(2,0,2)(1)当时，(1,2,2)，(2,0,1)，所以cos，.所以AP与AQ所成角的余弦值为. (2)(0,0,2)，(2,0,2)设平面APQ的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x2，y2.所以n(2，2，2)又因为直线AA1与平面APQ所成角为45，所以|cosn，|，可得5240，又因为0，所以.题型(三)运用空间向量求二面角考查用平面的法向量计算平面与平面所成的角. 典例感悟例3如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD1，D1D2，点P为棱CC1的中点(1)设二面角AA1BP的大小为，求sin 的值；(2)设M为线段A1B上的一点
8、，求的取值范围解(1)如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1,1,0)由题意可知n(1,0,0)为平面AA1B的一个法向量又(1，1,1)，(1,0，1)设平面PA1B的法向量为m(x2，y2，z2)，则即取m(1,2,1)为平面PA1B的一个法向量所以cosn，m，则sin .(2)设M(x，y，z)， (01)，即(x1，y1，z)(0，1,2)，所以M(1,1，2)所以(0，1，2)，(1，12)， .令21t1,1，则，当t1,0)时，；当t(0,1时，；当t
9、0时，0.所以，则.故的取值范围为.方法技巧二面角的求法建立恰当坐标系，求出两个平面的法向量n1，n2，利用cosn1，n2求出(结合图形取“”号)二面角，也可根据线面垂直，直接求出法向量来求解演练冲关1.直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB2，AC4，AA12，.(1)若1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1A1C1D的大小为60，求实数的值解：如图，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2)(1)当1时，
10、D为BC的中点，所以D(1,2,0)，(1，2,2)，(0,4,0)，(1,2，2)设平面A1C1D的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得y0，x2，则n(2,0,1)为平面A1C1D的一个法向量，设直线DB1与平面A1C1D所成的角为.则sin ，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(2)因为，所以D，2.设平面A1C1D的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令z11，得y10，x11，则n1(1,0,1)为平面A1C1D的一个法向量又平面A1B1C1的一个法向量为n2(0,0,1)，由题意得|cosn1，n2|，所以，解得1或1(不合题意，舍去)，所以实数的值为1.2(2
11、018苏锡常镇一模)如图，已知正四棱锥PABCD中，PAAB2，点M，N分别在PA，BD上，且.(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；(2)求二面角NPCB的余弦值解：(1)连结AC，BD，设AC，BD交于点O，在正四棱锥PABCD中，OP平面ABCD.又PAAB2，所以OP.以O为坐标原点，方向分别是x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz，如图则A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)故， 所以，(1,1，)，cos，所以MN与PC所成角的大小为30.(2)(1,1，)，(2,0,0)，.设m(x，y，z)是平面PCB的一个法向量，则即
12、令y，得z1，所以m(0，1)，设n(x1，y1，z1)是平面PCN的一个法向量，则即令x12，得y14，z1，所以n(2,4，), 故cosm，n，所以二面角NPCB的余弦值为.A组大题保分练1(2018南京学情调研)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，ADBC，APABAD1.(1)若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；(2)求二面角BPDA的余弦值解：(1) 以，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为APABAD1，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)设C(1，y,0)，则(1,0，1)，(1,1y,0)
13、因为直线PB与CD所成角大小为，所以|cos，|，即，解得y2或y0(舍)，所以C(1,2,0)，所以BC的长为2.(2)设平面PBD的法向量为n1(x，y，z)因为(1,0，1)，(0,1，1)，则即令x1，则y1，z1，所以n1(1,1,1)因为平面PAD的一个法向量为n2(1,0,0)，所以cosn1，n2，所以由图可知二面角BPDA的余弦值为.2(2018苏北四市期末)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，AA12，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2)求二面角FBC1
14、C的余弦值解：(1)因为AB1，AA12，则F(0,0,0)，A，C，B，E，A1，C1，所以(1,0,0)，.记异面直线AC和BE所成角为，则cos |cos，|，所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.(2)设平面BFC1的法向量为m(x1，y1，z1)因为，则即取x14，得平面BFC1的一个法向量为m(4,0,1)设平面BCC1的法向量为n(x2，y2，z2)因为，(0,0,2)，则即取x2，得平面BCC1的一个法向量为n(，1,0)，所以cosm，n.根据图形可知二面角FBC1C为锐二面角，所以二面角FBC1C的余弦值为.3(2018南京、盐城二模)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1
15、D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1AAB2，ABC60，E，F分别是BC，A1C的中点(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；(2)点M在线段A1D上，.若CM平面AEF，求实数的值解：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A平面ABCD.又AE平面ABCD，AD平面ABCD，所以A1AAE，A1AAD.在菱形ABCD中，ABC60，则ABC是等边三角形因为E是BC的中点，所以BCAE.因为BCAD，所以AEAD.故以A为原点，AE，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(0,0,0)，E(，0,0)，C(，1,0)，D(0，2,0)，
16、A1(0,0,2)，F.(1)因为(0,2,0)，所以cos，所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.(2)设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且 ，即，则(x，y，z2)(0,2，2)解得M(0,2，22)，(，21,22)设平面AEF的法向量为n(x0，y0，z0)因为(，0,0)，所以即令y02，得z01，所以平面AEF的一个法向量为n(0,2，1)由于CM平面AEF，则n0，即2(21)(22)0，解得.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABAC1，AA12，点P是棱BB1上一点，满足 (01)(1)若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；(
17、2)若二面角PA1CB的正弦值为，求的值解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为ABAC1，AA12，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1，0,2)(1)由得，(1,0，2)，(0,1，2)设平面A1BC的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得不妨取z11，则x1y12，从而平面A1BC的一个法向量为n1(2,2,1)设直线PC与平面A1BC所成的角为，则sin ，所以直线PC与平面A1BC所成角的正弦值为.(2)设平面PA1C的法向量为n2(x2，y2，z
18、2)，又(1,0,22)，故由得不妨取z21，则x222，y22，所以平面PA1C的一个法向量为n2(22，2,1)则cosn1，n2，又二面角PA1CB的正弦值为，所以，化简得2890，解得1或9(舍去)，故的值为1.B组大题增分练1(2018镇江期末)如图，ACBC，O为AB中点，且DC平面ABC，DCBE.已知ACBCDCBE2.(1)求直线AD与CE所成的角；(2)求二面角OCEB的余弦值解：(1)因为ACCB且DC平面ABC，则以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系因为ACBCBE2，则C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0
19、,2,0)，O(1,1,0)，E(2,0,2)，D(0,0,2)，且(0，2,2)，(2,0,2)所以cos，.所以直线AD和CE的夹角为60.(2)平面BCE的一个法向量为m(0,1,0)，设平面OCE的法向量n(x0，y0，z0)由(1,1,0)，(2,0,2)，得则解得取x01，则n(1,1,1)因为二面角OCEB为锐二面角，记为，则cos |cosm，n|.即二面角OCEB的余弦值为.2(2018江苏高考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值解：如
20、图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以，为基底，建立空间直角坐标系O xyz.因为ABAA12，所以A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0，1,2)(1)因为P为A1B1的中点，所以P，从而，(0,2,2)，所以|cos，|.所以异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)设n(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取n(，1,1)设直线CC1与平面AQC1所成角为，则sin |cos，n
21、|.所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.3. (2018苏锡常镇调研(一)如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD，PDAD2AB，点Q为线段PA(不含端点)上一点(1)当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；(2)已知二面角QBDP的正弦值为，求的值解：以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.不妨设AB1，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2，1,0)，P(0,0,2)(2,1,0)，(0,0,2)(1)当Q是线段PA的中点时，Q(1，0,1)，(1，1，1)设平面PBD的法向量为m(x，y，
22、z)则即不妨取x1，解得y2.则平面PBD的一个法向量为m(1，2,0)故cosm，.综上，CQ与平面PBD所成角的正弦值为.(2)(2,0,2)，设 (0,1)，即(2，0,2)故Q(22，0,2)，(2,1,0)，(22，0,2)设平面QBD的法向量为n(x，y，z)则即不妨取x1，则y2，z1，故平面QBD的一个法向量为n.由(1)得平面PBD的一个法向量m(1，2,0)，由题意得cos2m，n12，解得或1.又(0,1)，所以，所以，即，即.4.如图，在四棱锥SABCD中，SD平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，ADCDAB90，SDADAB2，DC1.(1)求二面角SBCA的余弦
23、值；(2)设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长解：(1)由题意，以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，1,0)，S(0,0,2)，所以(2,2，2)，(0,1，2)，(0,0,2)设平面SBC的法向量为n1(x，y，z)，则即令z1，得x1，y2，所以n1(1,2,1)是平面SBC的一个法向量. 因为SD平面ABC，取平面ABC的一个法向量n2(0,0,1)设二面角SBCA的大小为，由图可知二面角SBCA为锐二面角，所以|cos |，所以二面角SBCA的余弦值为. (2)由(1)知E(1,0,1)，(2,1,0)，(1，1，1)设 (01)，则(2,1,0)(2，0)，所以(12，1，1)易知CD平面SAD，所以(0，1,0)是平面SAD的一个法向量设PE与平面SAD所成的角为，所以sin |cos，|， 即，得或(舍去)所以，|，所以线段CP的长为.