1、专题07 圆中证明及存在性问题【例1】（2019河南南阳一模）如图，已知A的半径为4，EC是圆的直径，点B是A的切线CB上一个动点，连接AB交A于点D，弦EFAB，连接DF，AF.（1）求证：ABCABF；（2）当CAB=时，四边形ADFE为菱形；（3）当AB=时，四边形ACBF为正方形.【分析】（1）由EFAB，得EFA=FAB，CAB=AEF，又AEF=AFE，得：BAC=BAF，又AB=AB，AC=AF，证得ABCABF；（2）连接FC，根据ADFE为菱形，确定出CAB的度数；（3）由四边形ACBF是正方形，得AB=AC=4.【解析】解：（1）EFAB，EFA=FAB，CAB=AEF，A
2、E=AF，AEF=AFE，BAC=BAF，又AB=AB，AC=AF，ABCABF（SAS）；（2）如图，连接FC，四边形ADFE是菱形，AE=EF=FD=AD，CE=2AE，CFE=90，ECF=30，CEF=60，EFAB，AEF=CAB=60，故答案为：60；（3）由四边形ACBF是正方形，得AB=AC=4.【变式1-1】（2019开封二模）如图，在ABD中，ABAD，AB是O的直径，DA、DB分别交O于点E、C，连接EC，OE，OC（1）当BAD是锐角时，求证：OBCOEC；（2）填空：若AB2，则AOE的最大面积为 ；当DA与O相切时，若AB，则AC的长为 【答案】（1）见解析；（2）
3、；1.【解析】解：（1）连接AC，AB是O的直径，ACBD，ADAB，BACDAC，BCEC，又OB=OE，OC=OC，OBCOEC（SSS），（2）AB2，OA1，设AOE的边OA上的高为x，SAOEOAhh，要使SAOE最大，需h最大，点E在O上，h最大是半径，即：h最大1SAOE最大为：；如图所示，当DA与O相切时，则DAB90，ADAB，ABD45，AB是直径，ADB90，ACBCAB=1.【例2】（2019济源一模）如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D， 与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DFAC 于点 F（1）试说明 DF 是O 的
4、切线；（2）当C= 时，四边形 AODF 为矩形；当 tanC= 时，AC=3AE【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OD，OB=OD，B=ODB，AB=AC，B=C，ODB=C，ODAC，DFAC，ODDF，点D在O上，DF是O的切线；（2）45，理由如下：由四边形AODF为矩形，得BOD=90，B=45，C=B=45，故答案为：45；（3），理由如下，连接BE，AB是直径，AEB=90，AB=AC，AC=3AE，AB=3AE，CE=4AE，BE2=AB2AE2 =8AE2，即BE=AE，在RtBEC中，tanC=.故答案为：.【变式2-1】（2019安阳一模）如图，在ABC中，AB
5、=AC=4，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，点P是AB的延长线上一点，且PDB=A，连接DE，OE（1）求证：PD是O的切线（2）填空：当P的度数为_时，四边形OBDE是菱形；当BAC=45时，CDE的面积为_【答案】（1）见解析；（2）30；.【解析】解：（1）连接OD，OB=OD, PDB=A，ODB=ABD=90A=90PDB，ODB+PDB=90，ODP=90，OD是O的半径，PD是O的切线.（2）30，理由如下：P=30，则BOD=60，BOD是等边三角形，ADP=30，A=60，AOE是等边三角形，即AOE=60，EOD=60，ODE是等边三角形，OB=BD=DE=OE
6、，即四边形OBDE是菱形；连接BE，AD，如上图，AB为直径，ADB=90，即ADBC，AEB=90，AB=AC，D为BC中点，SDCE=SBCE，BAC=45，AE=BE，ABE是等腰直角三角形，AB=AC=4，AE=BE=，CE=4-，SDCE=SBCE，=BECE=（4-）=.【例3】（2019洛阳三模）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P（1）求证：AC2=ADAB（2）点 E 是ACB 所对的弧上的一个动点（不包括 A，B 两点），连接 EC交直径 AB 于点 F，DAP=64当ECB
7、= 时，PCF 为等腰三角形；当ECB= 时，四边形 ACBE 为矩形【答案】见解析.【解析】解：（1）连接OC，CD是切线，OCCD，ADCD，OCAD，ACO=CAD，OA=OC，ACO =CAO，CAD=CAO，AB为直径，ACB=D=90，ACDABC，,即：AC2=ADAB（2）45；58，理由如下：DAP=64，P=26，CAB=DAC=32，CFP是ACF的外角，CFP32，即CFPP，由PCB=CAB=32，知FCPPCBP，由PCD为等腰三角形，得PC=PF,CFP=77，ACF=45，ECB=90ACF=45，故答案为：45；由ACBE是矩形，得F与O重合，ECB=90AC
8、O=9032=58，故答案为：58.【变式3-1】（2019洛阳二模）如图，ABC 内接于O，过点 B 的切线 BEAC，点 P 是优弧AC 上一动点（不与 A，C 重合），连接 PA，PB，PC，PB 交 AC 于 D（1）求证：PB 平分APC；（2）当 PD=3，PB=4 时，求 AB 的长【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OB，则OBBE，BEAC，OBAC，弧AB=弧BC，APB=BPC，PB平分APC；（2）由（1）知，APB=BPC，BAC=BPC，BAC=APB，ABD=PBA，ABDPBA，,即AB=2，即AB的长为2.1.（2018河师大附中模拟）如图，在RtAB
9、C中，ACB=90，以AC为直径的O与AB交于点D，过D作O的切线交CB于E.（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断ABC的形状，并说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OD，AC为直径，ACB=90，BC为O的切线，DE是O的切线，DE=CE，ODE=90，ODA+EDB=90，OA=OD，OAD=ODA，OAD+B=90，B=EDB，DE=BE，EB=EC；（2）ABC是等腰直角三角形，理由如下：四边形ODEC是正方形，DEB=90，由（1）知CE=BE，BED是等腰直角三角形，B=45，A=45，即AC=BC，又ACB=90，AB
10、C是等腰直角三角形.2.（2019焦作二模）如图，以RtABC的直角边AB为直径作O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE（1）求证：DE是O的切线（2）填空：当CAB= 时，四边形AOED是平行四边形；连接OD，在的条件下探索四边形OBED的形状为 .【答案】（1）见解析；（2）45；正方形.【解析】（1）连接OD，BD，AB为直径，BDC=ADB=90，E为BC的中点，DE=BE=CE，OD=OB，OE=OE，ODEOBE，ODE=OBE=90，ODDE，即DE是O的切线.（2）若四边形AOED是平行四边形，则DEAB，A=CDE，CDE=C，A=C，ABC=90，A=45；
11、由A=45，得ADO=45，即DOB=90，EBO=ODE=90，四边形OBED是矩形，四边形AOED是平行四边形，EOB=A=45，EOB=OEB=45，OB=BE，四边形OBED是正方形.3.（2019周口二模）如图，在RtABC中，B=90，AB=6，CD平分ACB交AB于点D，点O在AC上，以CO为半径的圆经过点D，AE切O于E（1）求证：AD=AE（2）填空：当ACB=_时，四边形ADOE是正方形；当BC=_时，四边形ADCE是菱形【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OE，CD平分ACB，OCD=BCD，OC=OD，OCD=ODC，ODC=BCD，ODBC，B=90，ADO=
12、90，AD是圆O的切线，AE是圆O的切线，AD=AE.（2）45；2，理由如下：ADOE是正方形，OD=AD，OAD=45，ACB=45；四边形ADCE为菱形，AD=CD，CAD=ACD，BCD=ACD，CDB=60，BCD=30，CD=2BD，AB=6，BD=2，BC=2,故答案为：45；2.4.（2018信阳一模）如图，AB是O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于点F，且CE=CB（1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF，BF，求ABF的度数【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连结OB，CE=CB，CBE=CEB，CDOA，DAE+AED=90，CEB=AE
13、D，DAE+CBE=90，OA=OB，OAB=OBA，OBA+CBE=90，即OBC=90，BC是O的切线；（2）解：连结OF，OF交AB于H，（见上图）DFOA，AD=OD，FA=FO，OF=OA，OAF为等边三角形，AOF=60，ABF=AOF=305.（2019南阳毕业测试）如图，在ACE中，ACCE，O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且弧BC=弧DF，连接AB，BC，CD求证：CDEABC【答案】见解析.【解析】证明：连接DF，ACCE，CAEE，四边形ACFD内接于O，CAE+CFD=180，CFD+DFE=180，CAEDFE，DFEE，DF
14、DE，弧BC=弧DF，BCDF，BCDE，四边形ABCD内接于O，同理可得：BCDE，在CDE和ABC中，AC=CE，ABC=CDE，BC=DE，CDEABC6.（2019濮阳二模）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PCAB，点M是OP中点（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；（2）填空：当BOP 时，四边形AOCP是菱形；连接BP，当ABP 时，PC是O的切线【答案】（1）见解析；（2）120；45【解析】（1）证明：PCAB，PCMOAM，CPMAOM点M是OP的中点，OMPM，CPMAOM，PCOAOAOB，PCOBPCAB，四边形OBCP是平行四边形（2）
15、解：四边形AOCP是菱形，OAPA，OAOP，OAOPPA，AOP是等边三角形，AAOP60，BOP120；PC是O的切线，OPPC，OPC90，PCAB，BOP90，OPOB，ABPOPB45.7.（2019南阳模拟）如图，AB为O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作O的切线，交BA的延长线于点E（1）求证：ACDE；（2）连接AD、CD、OC填空当OAC的度数为 时，四边形AOCD为菱形；当OAAE2时，四边形ACDE的面积为 【答案】（1）见解析；（2）30；2【解析】（1）证明：F为弦AC的中点，AFCF，OF过圆心OFOAC，即OFA=90，DE是O切线，
16、ODDE即EDO=90，DEAC.（2）当OAC30时，四边形AOCD是菱形，理由如下：连接CD，AD，OC，OAC30，OFACAOF60AODO，AOF60ADO是等边三角形AFDODFFO，AFCF，四边形AOCD是平行四边形AOCO四边形AOCD是菱形.连接CD，ACDE, OA=AE=2，OD2OF，DE2AFAC2AF，DEAC，且DEAC四边形ACDE是平行四边形OAAEOD2OFDF1，OE4在RtODE中，由勾股定理得：DE2，S四边形ACDEDEDF212答案为：2.8.（2019商丘二模）如图，在RtABC中，BAC90，C30，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作O，
17、O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F（1）求证：BD是O的切线（2）若AB，E是半圆AGF上一动点，连接AE，AD，DE填空：当弧AE的长度是 时，四边形ABDE是菱形；当弧AE的长度是 时，ADE是直角三角形【答案】（1）见解析；（2）；或【解析】（1）证明：连接OD，在RtABC中，BAC90，C30，ABBC，D是斜边BC的中点，BDBC，ABBD，BADBDA，OAOD，OADODA，ODBBAO90，即ODBC，BD是O的切线（2）若四边形ABDE是菱形，连接OE，则ABDE，BAC=90，DEAC，得：ADBDABCDBC，ABD是等边三角形，OD1，ADB60，CD
18、E60，ADE180ADBCDE60，AOE2ADE120，弧AE的长度为：=；故答案为：；AD为弦（不是直径），AED90，（i）若ADE90，则点E与点F重合，弧AE的长度为：；（ii）若DAE90，则DE是直径，则AOE2ADO60，弧AE的长度为：=；故答案为：或9.（2019开封二模）如图，在RtABC中，ACB90，以点A为圆心，AC为半径，作A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交A于点F，连接AF，BF，DF（1）求证：ABCABF；（2）填空：当CAB 时，四边形ADFE为菱形；在的条件下，BC cm时，四边形ADFE的面积是6cm2【答案】（1）见解析
19、；（2）60；6【解析】（1）证明：EFAB，ECAB，EFAFAB，AE=AF，EEFA，FABCAB，又AF=CA，AB=AB，ABCABF；（2）当CAB60时，四边形ADFE为菱形由CAB60，得FADEAF60，EFADAE=DF，四边形ADFE是菱形四边形AEFD是菱形，AEFCAB60，AE，AC=，BC=AC=6. 10.（2019名校模考）如图，在RtABC中，ACB90，以直角边BC为直径作O，交AB于点D，E为AC的中点，连接DE.（1）求证：DE为O的切线；（2）已知BC4填空：当DE 时，四边形DOCE为正方形；当DE 时，BOD为等边三角形【答案】（1）见解析；（2
20、）2；2 .【解析】（1）证明：连接CD，OE，BC为O的直径，BDC90，DE为RtADC的斜边AC上的中线，DE=CE=AE，ODCC，OEOE，COEDOE，OCEODE90，即DE为O的切线；（2）解：若四边形DOCE为正方形，则OCODDECE，BC4，DE2若BOD为等边三角形，则BOD60，COD180BOD120，DOE60，DEOD=2故答案为：2，211.（2019枫杨外国语三模）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，BAC 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 DEAC，分别交 AC，AB 的延长线于点 E，F（1）求证：EF 是O 的切线（2）当BAC 的度数为
21、时，四边形 ACDO 为菱形；若O 的半径为 5，AC=3CE，则 BC 的长为 【答案】（1）见解析；（2）60；8.【解析】（1）连接OD，OAOD，OADODA，AD 平分EAF，DAEDAO，DAEADO，ODAE，AEEF，ODEF，EF是O 的切线；（2）连接 CD，当BAC=60时，四边形 ACDO 为菱形；BAC60，AOD120，OAOD，OADODA30，CAD30，ODAE，OADADC30，CAOADC30，ACCD，ADAD，ACDAOD，ACAO，ACAOCDOD，四边形ACDO 为菱形；设 OD 与 BC 交于 G，AB 为直径，ACB90，DEAC，可得四边形CEDG是矩形，DGCE，AC3CE，OGAC1.5CE，OD2.5CE5，CE2，AC6，AB10，由勾股定理得：BC8