1、苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积向量的数量积第一课时苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积情境创设问题1 向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种运算的结果又是什么呢？问题2 物理中有没有其它的向量运算呢？学生活动问题3 物理学中，物体所受力为F，在力的方向上产生的位移是S时，力对物体所做的功是多少？问题4 如图，当力F和位移S存在一个夹角时，力对物体所做的功是多少？FS苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积意义建构问题5 从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？
2、问题6 在向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”这一概念，那么如何定义两个向量的夹角呢？向量a与b的夹角练习1 请同学们指出下列图中两个向量、（或）的夹角向量a与b的夹角的取值范围苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积特别地，当向量a与b的夹角为0时，这两个向量同向；当向量a与b的夹角为180时，这两个向量反向；当向量a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab问题7 零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0a0数学理论向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫
3、做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab|a|b|cos同时规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0a0苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积练习2 判断下列结论是否正确：（1）若a0，则对任意非零向量b，都有ab0；（2）若a0，则对任意非零向量b，都有ab0；（3）若b0，abbc，则ac；（4）若ab0，则向量a与b的夹角为钝角；（5）若a，b均为非零向量，且ab|a|b|，则ab问题8 向量的数量积有什么性质？当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|特别地，当ba，有aa|a|2，或|a|（记aaa2）问题9 向量的数
4、量积有什么样的运算性质？已知向量a、b、c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：（1）abba（交换律）；（2）（a）b=（ab）=a（b）（对数乘运算的结合律）；（3）（ab）c=acbc（分配律）苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积数学运用例1 已知向量a与b的夹角为，|a|4，|b|3，分别在下列条件下求ab：(1)45；(2)90；(3)120例2 已知正ABC的边长为2，设BCa，ACb，ABc，求ab，bc练习31已知|a|4，|b|3，分别在下列条件下求ab：(1)ab；(2)ab2试利用向量数量积的运算律证明：(ab)2a22abb2
5、苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积向量的数量积第二课时苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积复习回顾1平面向量的夹角2平面向量的数量积已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点作a，b，则（0）叫做向量a与b的夹角已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab=|a|b|3向量的数量积的性质苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积4向
6、量的数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：(1)ab=ba(交换律)；(2)(a)b=(ab)=a(b)；(3)(ab)c=acbc向量的数量积运算不满足结合律数学运用例3 求证：(1)(ab)2 a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2例4 已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)例5 已知|a|=3，|b|=4(且a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量akb与akb互相垂直？例6 设x，y轴正方向上的单位向量分别为和，若ab=2i8j，ab=8i16j，求ab苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量
7、积向量的数量积例7 设和是夹角为的两个单位向量，且，试求的值苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积向量的数量积第三课时苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积问题情境问题1 若两个向量为a(x1，y1)，b(x2，y2)，如何用向量a，b的坐标来表示它们的数量积ab？数学理论两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即ab =x1x2+y1y2苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积数学运用例
8、9 设a(m1，3)，b(1，m1)，若(ab)(ab)，求m的值例10 已知ab（2，8），ab（8，16），求ab及向量a与b的夹角 的余弦值课堂练习1设(5，-7)，(-6，-4)，求ab，及a与b的夹角2已知a(4,2)，b(6,1)，求：(1)ab；（2）(2ab)(a2b)；(3)|2a3b|苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积向量的数量积第四课时苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积复习回顾1平面向量数量积的坐标表示
9、设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab=x1x2+y1y2.2向量垂直的等价结论设(x1，y1)，(x2，y2)，则3向量模的坐标计算设a(x，y)，则|a|2x2+y2，或|a|苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积数学运用例11 已知a（1，2），b（1，y），若向量a，b的夹角为锐角，求实数y的 取值范围例12 平面内有向量（1，7），（5，1），（2，1），点P是直线OC上一个动点（1）当 取最小值时，求的坐标；（2）当点P满足（1）的条件和结论时，求cosAPB的值例13 AD，BE，CF是ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点例14 求证：直径上的圆周角为直角苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积课堂练习1已知|a|2，|b|1，向量a与b的夹角为，求向量ab与a2b的夹角的余弦值2如图，在等腰ABC中，BD，CE分别是腰AC，AB上的中线，且BDCE，求BAC的余弦值苏教版高中数学教材必修4 第2章平面向量2.4 2.4 向量的数量积向量的数量积