1、数学试题第卷（选择题，共60分）一、单选题（共60分，每小题5分）1.已知函数的定义域为A，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的定义求出函数的定义域，然后再求其在实数集中的补集【详解】由题意或，所以故选：D【点睛】本题考查集合的祉集运算，确定集合中的元素是解题关键2.函数的定义域是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】由题意得解得.故选C.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3.某几何体的三视图如图：其中俯视图是等边三角形，正视图是直角三角形，
2、则这个几何体的体积等于（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图的三个图都是三角形，可知几何体是三棱锥，底面是如俯视图的底面，三棱锥的高是正视图的高，.【详解】由三视图可知几何体是三棱雉，底边是边长为的等边三角形，高为3， ，故选C .【点睛】本题考查根据三视图，求几何体的体积，意在考查空间想象和计算能力，属于基础题型.4.函数的零点为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，将指数式化为对数值，求得的值，也即的零点.【详解】由，得，即故选A【点睛】本小题主要考查零点的求法，属于基础题.5.在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线A
3、C和MN所成的角为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将平移到一起，根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.【详解】连接如下图所示，由于分别是棱和棱的中点，故，根据正方体的性质可知，所以是异面直线所成的角，而三角形为等边三角形，故.故选C.【点睛】本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.6.若，则实数的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将化成以 为底的对数，即可判断 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.【详解】依题意，由对数函数的性质可得.
4、又因为，故.故选:A.【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.7.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】分析】利用可能平行判断，利用线面平行的性质判断，利用或与异面判断，与可能平行、相交、异面，判断.【详解】，则可能平行，错；，由线面平行的性质可得，正确；，则， 与异面；错，与可能平
5、行、相交、异面，错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.8.设为定义的实数集上的偶函数，且在上是增函数，则的解集为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和在上的单调性，求得以及在的单调性，由此列不等式，解不等式求得不等式的解集.【详解】因为为偶函数，所以，又在
6、上是增函数，故在上是减函数.所以，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.9.一种产品的成本是a元今后m（mN*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x的函数（0xm，且xN*），其关系式为A. y=a（1+p%）xB. y=a（1p%）xC. y=a（p%）xD. y=a（p%）x【答案】B【解析】【分析】根据题意，成本每年降低率相同，符合指数函数模型问题，利用指数函数即可解决问题【详解】根据题意，得y=a（1p%）x，x年数，又由题意0xm，xN，因此所求关系式为y=a（1p%）x（xN，1xm）故选B【点睛】本题考查了指数函
7、数模型的应用问题，解题时应根据题意，建设指数函数模型，从而解决问题，是基础题10.下列说法正确的是（ ）A. 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥【答案】B【解析】分析】根据棱柱、棱锥、棱台、圆锥的概念与性质判断【详解】如下图多面体满足有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，A错；如下图，四棱锥，是矩形，底面，则其四个侧面都是直角三角形，B正确；如下图，有两个面互相平行，其余各面都是
8、梯形，但的延长线不交于同一点，它不是棱台C错；只有直角三角形以一条直角边所在直线为轴旋转一周，才能形成一个圆锥，即使是直角三角形，如果以斜边所在直线为轴旋转一周所形成的几何体也不是圆锥，D错故选：B【点睛】本题考查棱柱、棱台、圆锥的概念，考查棱锥的性质，掌握空间几何体（柱、锥、台体）的概念是解题基础11.已知正方形的对角线与相交于点，将沿对角线折起，使得平面平面（如图），则下列命题中正确的为A. 直线直线，且直线直线B. 直线平面，且直线平面C. 平面平面，且平面平面D. 平面平面，且平面平面【答案】C【解析】【分析】由直线直线不成立，知A错误；由直线平面不成立，知B错误；由平面平面，且平面平
9、面，知C正确；由平面平面不成立，知D错误【详解】由题意，平面平面，平面平面，平面，平面，平面， 若，则平面，平面，即，显然不垂直，故假设不成立，直线直线不成立，故A错误；若平面，且平面，则，事实上，不成立，直线平面不成立，故B错误；，为的中点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面，平面，平面，平面平面，故C正确；如下图所示，取的中点，连接，为的中点，若平面平面，平面平面，平面，平面，平面，且，平面，平面，事实上，与不垂直，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中等题12.球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（ ）
10、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.第卷（选择题，共90分）二、填空题（共20分，每小题5分）13.函数的最大值为_【
11、答案】2【解析】当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.14.一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于轴，底角为，两腰和上底长均为的等腰梯形，则这个平面图形的面积是【答案】【解析】【详解】【分析】如图过点作，则四边形是一个内角为45的平行四边形且，中，则对应可得四边形是矩形且，是直角三角形，所以15.设函数，则使得成立的的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：当时，；当时，综上，使得成立的的取值范围是故答案为考点：分段函数不等式及其解法.【方法点晴】本题
12、考查不等式的解法，在分段函数中结合指数函数不等式与幂函数不等式，考查学生的计算能力，属于基础题利用分段函数，结合分为两段当时，根据单调性，解指数函数不等式，取交集；当时，解幂函数不等式，取交集，综合取上述两者的并集，即可求出使得成立的的取值范围16.在正方体中，过对角线的一个平面交于点，交于点，给出下列结论：四边形一定是平行四边形；四边形有可能是正方形；.四边形在底面内的射影一定是正方形；平面有可能垂直于平面.以上结论中正确的为_.（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】分析：由题意结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.详解：如图所示：由于平面BCB1C1平面ADA1D1，并且
13、B、E、F、D1，四点共面，故ED1BF，同理可证，FD1EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故正确；若BFD1E是正方形，有ED1BE，结合A1D1BE可得BE平面ADD1A1，明显矛盾，故错误；由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故正确；当点E和F分别是对应边的中点时，EF平面BB1D，则平面BFD1E平面BB1D，故正确.综上可得：题中所给的结论正确的为.点睛：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂
14、直的定理是关键.三、解答题（共70分）17.已知集合，集合.（1）求；（2）设集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可（2）根据并集的定义得出关于的不等式组，求出解集即可【详解】（1）集合.则集合，则(2)集合，且,解得故实数取值范围为【点睛】本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解18.如图，在三棱锥中，D为线段的中点，E为线段上一点.（1）求证：；（2）求证：平面平面【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先证明平面，即得证；（2）先证明平面，平面平面即得证.【详解】（1）由平
15、面平面，且，所以平面，因为平面，所以.（2）由为线段的中点， 可得，由平面，平面可得平面平面又平面平面，平面，且即有平面，因为平面，所以平面平面.【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.如图所示，为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB,PC的中点，平面PAD平面PBC.(1)求证：BC； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：证明线线平行的方法；1，向量法，2.垂直于同一平面的两条直线平行，3平行于同一直线的两条直线平行，4一个平面与另外两个平行平面相交,那么两条交线也
16、平行线面平行，1平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，2若一条直线与一个平面同时平行于另一个平面且这条直线不属于这个平面，则这条直线与这个平面平行，3若一条直线与两平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行，4，最好用的还是向量法试题解析：(1)证明 因为BCAD，AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.又平面PAD平面PBCl，BC平面PBC，所以BCl.(2)解 MN平面PAD.证明如下：如图所示，取PD中点E，连结AE，EN.又N为PC的中点，又即四边形AMNE为平行四边形AEMN，又MN平面PAD，AE平面PAD.MN平面PAD.考点：线面
17、平行的性质定理及判断定理20.设,且.（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的最大值【答案】（1），定义域为；（2）2【解析】【分析】（1）由,可求得的值,结合对数的性质,可求出的定义域;（2）先求得在区间上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】（1）,解得.故,则,解得,故的定义域为.（2）函数,定义域为,由函数在上单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,可得函数在上单调递增,在上单调递减.故在区间上的最大值为.【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.21.如图1所示，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使如
18、图2所示. （1）求证：/平面；（2）求证：；（3）线段上是否存在点，使平面？请说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）DEBC，由线面平行的判定定理得出（2）可以先证，得出，(3)Q为的中点，由上问，易知,取中点P，连接DP和QP，不难证出，,又22.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断的单调性并用定义证明；（3）已知不等式恒成立, 求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）减函数，证明见解析； （3） .【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义域若存在x=0，则f（0）=0，求解参数的值；（2）结合y=2x的性质，通过证明任意，有，证明函数是减函数；（3）根据函数的奇偶性，将不等式恒成立转化为不等式恒成立，再结合函数的单调性求解.【详解】（1）是上的奇函数,， 得（2）减函数，证明如下：设是上任意两个实数，且， ，即， ，即，在上是减函数（3）不等式恒成立，是奇函数，即不等式恒成立 又 在上是减函数，不等式恒成立 当时，得 当时，得 综上，实数的取值范围是【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了不等式恒成立问题，考查了应用对数函数单调性解与对数有关的不等式，涉及了指数函数与对数函数的图象与性质，体现了转化思想在解题中的运用 .