1、_2.1合情推理与演绎推理21.1合 情 推 理第一课时归 纳 推 理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电 问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.年龄(岁)3035404550556065收缩压(水银柱/毫米)110115120125130135145舒张压(水银柱/毫米)70737578808388提示：14085问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高问题5：数列an的前五项为1,3,5,7,9试写
2、出an.提示：an2n1(nN*)1推理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么2归纳推理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理(2)归纳推理的思维过程如图(3)归纳推理的特点归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学
3、证明的工具归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题1归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围2归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质3归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的4观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据5由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之
4、一归纳推理在数列中的应用例1已知数列an的第1项a11，且an1(n1,2，)，求出a2，a3，a4，并推测an.思路点拨数列的通项公式表示的是数列an的第n项an与序号n之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n与an的关系即可解决精解详析当n1时，a11；当n2时，a2；当n3时，a3；当n4时，a4.观察可得，数列的前4项等于相应序号的倒数由此猜想，这个数列的通项公式为an.一点通在求数列的通项与前n项和时，经常用归纳推理得出结论这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n的关系，往往会较简捷地获得结论1已知正项数列a
5、n的前n项和为Sn，且满足Sn.求出a1，a2，a3，a4，并推测an.解：Sn，a1，a1.又an0，a11；a1a2，即1a2，a21；a1a2a3，即a3，a3；a1a2a3a4，a4，a42；观察可得，an.2已知数列an中，a26，n.(1)求a1，a3，a4；(2)猜想数列an的通项公式解：(1)由a26，1，得a11.由2，得a315.由3，得a428.故a11，a315，a428.(2)由a111(211)；a262(221)；a3153(231)；a4284(241)，猜想ann(2n1)归纳推理在不等式中的应用例2对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系思路点拨精解详
6、析当n1时，2112；当n2时，2222；当n3时，2352；当n6时，2662.归纳猜想，当n3时，2nn2；当nN*，且n3时，2nn2.一点通对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形(通分、因式分解等)，变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简3观察下列式子：1，1，1，猜想第n个不等式为_解析：第1个不等式：1；第2个不等式：1；第3个不等式：1；故猜想第n个不等式为1.答案：14对任意正整数n，猜想nn1与(
7、n1)n的大小关系解：n1时，1221；n2时，2343；n4时，4554，n5时；5665.据此猜想，当n3时，nn1(n1)n.归纳推理在图形推理中的应用例3古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n个三角形数思路点拨将1,3,6,10分别写成，据此可完成本题的求解精解详析观察项与项数的关系特点如下：项1234项数分析：项的各分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数与1和的积归纳：第n个三角形数应为(nN*)一点通此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点题目类型为已知几个图
8、形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等5下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n个图有an个树枝，则an1与an(n1)之间的关系是_解析：由图可得，第一个图形有1根树枝，a11，第2个图形有3根树枝，即a23，同理可知：a37, a415，a531.归纳可知：a232112a11，a372312a21，a4152712a31，a53121512a41，由归纳推理可猜测：an12an1.答案：an12an16根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中
9、点的个数.解析：图中点的个数依次为：1,3,7,13,21.又1101；3112；7123,13134,21145.结合项数与项的关系猜想第n个图中点的个数为：1(n1)n，即为n2n1(nN*)答案：n2n1(nN*)归纳推理在数阵中的应用例4如图是杨辉三角的前5行，请试写出第8行，并归纳、猜想一般规律思路点拨由杨辉三角的前5行总结各行数字的规律，由此寻找第8行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律精解详析第8行：1 7 21 35 35 21 7 1.一般规律：(1)每行左、右的数字具有对称性；(2)两斜边的数字都是1，其余数字等于它肩上两数字之和；(3)奇数行中间一项最大，偶数行中
10、间两项相等且最大一点通解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：(1)明确各行、各列数的大小；(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系；(3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论7.将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n(n3)行的从左至右的第3个数是_解析：第1行，第2行，第3行，分别有1,2,3，个数字，且每个数字前后差1，则第n1行的最后一个数字加3即为第n(n3)行的从左至右的第3个数，前n1行共有数字123(n1)，则第n(n3)行的从左至右的第3个数为3.12 43 5 76 8 10129 1113151714 16 18 20 2224 答案：8.把
11、正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表，设aij(i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j行如a428，若aij2 009.则i和j的和为_解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 00921 0051，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i63，因为第63行的第一个数为296211 923,2 0091 9232(m1)，所以m44，即j44，所以ij107.答案：1071归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物个别情况，
12、发现某些相同性质(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论(3)猜想这个结论对该类事物都成立2归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明一、填空题1(陕西高考)观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律， 第n个等式可为_解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n1)，(nn)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)答案：(n1)(n2)(n3)(
13、nn)2n135(2n1)2已知f1(x)cos x，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)，则f2 014(x)_.解析：f1(x)cos x，f2(x)f1(x)sin x，f3(x)f2(x)cos x，f4(x)f3(x)sin x，f5(x)f4(x)cos x，再继续下去会重复出现，周期为4，f2 014(x)f2(x)sin x.答案：sin x3根据三角恒等变换，可得到如下等式：cos cos ；cos 22cos2 1；cos 34cos3 3cos ；cos 48cos4 8cos2 1；cos 516cos5 20cos3
14、 5cos 依照规律猜想cos 632cos6 mcos4 ncos2 1.则mn_.解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1，即32mn11.mn30.答案：304已知ann，把数列an的各项排成如下的三角形：a1a2a3a4a5a6a7a8a9记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)_.解析：每行对应的元素个数分别为1,3,5 ，那么第10行最后一个数为a100，则第11行的第12个数为a112，即A(11,12)a112112.答案：1125经计算发现下列不等式：2，2， 2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：_.解析：218
15、20,4.515.520,31720，即各不等式左边两根号内的数之和等于20，右侧均为2.答案：当ab20，a，b(0，)时，有2二、解答题6已知 2， 3， 4，若 6(a，b均为实数)，请推测a，b的值解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中，a6，b62135，即a6，b35.7在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线由此猜出凸n边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比
16、凸五边形多4条；于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n1边形多n2条对角线，由此凸n边形对角线条数为2345(n2)n(n3)(n4，nN*)8观察：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101；tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51.由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广解：观察到10206090，5107590，因此猜测此推广为，且、都不为k，kZ，则tan tan tan tan tan tan 1.证明如下：由得，tan()tancot .又tan()，tan tan tan()(1tan tan )cot (1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )tan tan tan (1tan tan )cot tan tan 1tan tan tan tan 1.