1、_3.2空间向量的应用32.1直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量 a1，a2，a3an是一组非零共线向量，表示向量a1的有向线段所在直线与直线l平行问题1：表示向量a2，a3，an的有向线段所在直线与直线l的关系怎样？提示：平行或重合问题2：如何表示a1，a2an与直线l的关系呢？提示：利用一个向量来表示直线l的方向，a1，a2，an与该向量共线直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.平面的法向量直线l与平面垂直，l1，l2是平面内的两条直线问题1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面是否垂直？提示：垂直因为这些直线与l平行或重合问题2：直线l的方
2、向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？提示：垂直1如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n.此时，我们把向量n叫做平面的法向量2与平面垂直的直线叫做平面的法线因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量1一条直线有无数个方向向量，它们共线一个平面有无数个法向量，它们也共线2平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量3给定一点A和一个向量a，那么过点A，以向量a为法向量的平面是惟一的利用直线方向向量和平面的法向量判定线面位置关系例1根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系：(1)平面，的法向量分别是u(1,1，2)，v；(2)直线l的方向向
3、量a(6,8,4)，平面的法向量u(2,2，1)思路点拨利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系精解详析(1)u(1,1，2)，v，uv(1,1，2)3210，uv，故.(2)u(2,2，1)，a(6,8,4)，ua(2,2，1)(6,8,4)121640，ua，故l或l.一点通1两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)2直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行3两个平面的法向量共线时，两平面平行1若两条直线l1、l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2，4,4)，则l1与l2的位置关系为_解析：b
4、2a，ab，即l1l2或e1与e2重合答案：平行或重合2根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别是a(1，3，1)，b(8,2,2)；(2)平面，的法向量分别是u(1,3,0)，v(3，9，0)；(3)直线l的方向向量，平面的法向量分别是a(1，4，3)，u(2,0,3)；(4)直线l的方向向量，平面的法向量分别是a(3,2,1)，u(1,2，1)解：(1)a(1，3，1)，b(8,2,2)，ab8620，ab，即l1l2.(2)u(1,3,0)，v(3，9,0)，v3u，vu，即.(3)a(1，4，3)，u(2,0,3)，au0且aku(kR)，a与u既不共
5、线也不垂直，即l与相交但不垂直(4)a(3,2,1)，u(1,2，1)，au3410，au，即l或l.平面的法向量的求解及应用例2已知点A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，求平面ABC的一个单位法向量思路点拨可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量精解详析由于A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，所以(3,4,0)，(3,0,5)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有n0，且n0，即取z1，得x，y，于是n.又|n|，所以平面的单位法向量是n0.一点通求平面的法向量的方法与步骤：(1)求平面的法向量时，要选取两相交向量、.(2)设平面法向
6、量的坐标为n(x，y，z)(3)联立方程组并解答(4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标(常数不能为0)3已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，试求平面的一个法向量解：A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)设平面的一个法向量是n(x，y，z)依题意应有n0且n0.即解得z0，且x2y.令x2，则y1平面的一个法向量是n(2,1,0)4.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ABC90，SA底面ABCD，且 SAABBC1，AD，求平面SCD与平面SBA的一个法向量
7、解：因为AD、AB、AS是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D(，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则，.由题意易知向量(，0,0)是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的法向量，则即取x2，则y1，z1，平面SDC的一个法向量为(2，1,1)5.如图所示，四棱锥VABCD，底面ABCD为正方形，VA平面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：(1)直线AB的方向向量；(2)求证：BD平面VAC，并确定平面VAC的法向量解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有：、四个(2)底面A
8、BCD为正方形，BDAC.VA平面ABCD，BD平面ABCD，BDVA，又ACVAA，BD平面VAC，所以平面VAC的法向量有、两个确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量对应课时跟踪训练(二十三) 1若直线l平面，且l的方向向量为(m,2,4)，平面的法向量为，则m为_解析：l的方向向量与平面的法向量平行.m1.答案：12设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件n0的点M的轨迹是_解析：n0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念答案：过点A且与向量n垂直的平面3设直
9、线l1的方向向量为a(2，1,2)，直线l2的方向向量为b(1,1，m)，若l1l2，则m_.解析：l1l2，212m0.m.答案：4在空间中，已知平面过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.解析：平面xOy的法向量为n(0,0,1)，(3,4,0)，(3,0，a)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则则3x4yaz，取z1，则u，故cosn，u.又a0，a.答案：5已知a(1,4,3)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则x_，y_.解析：由l1l2，得，解得x12，y9.答案：1296已
10、知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，2)，(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面经过点A，且是的法向量，M(x，y，z)是平面内任一点，试写出x、y、z满足的关系式解：(1)B(2,0,0)，C(0,2，2)，(2,2，2)，即(2,2，2)为直线BC的一个方向向量(2)由题意(x2，y2，z2)，平面，AM，.(2,2，2)(x2，y2，z2)0.2(x2)2(y2)2(z2)0.化简得xyz20.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面A1BC1的一个法向量；(3)若M为CD的中点，求平面AMD1的一个法向量解：以A为坐标原
11、点，分别以，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a.(1)平面ABCD即为坐标平面xOy，n1(0,0,1)为其一个法向量(2)B1D平面A1BC1，又(0，a,0)(a,0，a)(a，a，a)，n2(1,1，1)为平面A1BC1的一个法向量(3)设n(x0，y0，z0)为平面AMD1的一个法向量，(0，a，a)，令x02，则y01，z01，n(2，1,1)为平面AMD1的一个法向量8.如图，已知ABCDA1B1C1D1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示AB3，BC4，AA12.(1)求平面B1CD1的一个法向量；(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系Axyz中，各点坐标为B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得(0,4，2)，(3,0,2)；设平面B1CD1的一个法向量为a(x，y，z)，则a，a，从而a0，a0，所以0x4y2z0，3x0y2z0，解方程组得到不妨取z6，则y3，x4.所以a(4,3,6)就是平面B1C1D的一个法向量(2)由题意可得(x3，y，z2)，因为a(4,3,6)是平面B1CD1的一个法向量，所以a，从而a0，即4(x3)3y6(z2)0,4x3y6z24，所以满足题意的关系式是4x3y6z24.