1、空间向量、角和距离（一）教 师：苗金利 爱护环境，从我做起 提倡使用电子讲义-第 1 页-空间向量、角和距离（一）内容提要：一、空间向量 空间向量在新课标中，应用于立体几何的角和距离有所加强。1、相关定义 2、共线向量定理 3、共面向量定理 4、空间向量基本定理 5、空间两向量的夹角 6、向量的直角坐标运算 二、空间角和距离的计算 1、角（线面角、二面角）的计算sincos,AB nAB nABn=121212coscos,nnnnnn=2、点到面的距离计算PA ndn=-第 2 页-例题分析例 1（1）若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形
2、是_.（2）下列等式中，使 M、A、B、C 共面的有_.OMOAOBOC=111532OMOAOBOC=+0MAMBMC+=0OMOAOBOC+=（3）命题 S：ab=是命题 R：ab=的_条件.（4）若 ab=且非零向量,a b 不平行，则,ab+,ab的夹角为_.例 2 矩形 ABCD 所在平面外一点 P，连接 PA、PB、PC、PD.求证：,PABPBCPCDPDA的重心共面于，判定并证明面 与平面 ABCD 的位置关系.例 3 四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是一个平行四边形，(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1).ABADAP=（1）求证：PA 底面 ABCD；（2）求
3、四棱锥 PABCD的体积；（3）对于向量111(,),ax y z=222(,),bxyz=333(,),cxy z=定义一种运算：123()abcx y z=+23 1x y z 31 2x y z 132x y z 21 3x y z 32 1x y z -第 3 页-试计算()ABADAP的绝对值的值；说明其与四棱锥 PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算()ABADAP的绝对值的几何意义.例 4 已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，点 E 是正方形11BCC B 的中心，点 F、G 分别是棱111,C D AA 的中点.设点11,E G分别是点 E，G 在平面1
4、1DCC D 内的正投影.（1）求以 E 为顶点，以四边形 FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线1FG平面1FEE；（3）求异面直线11E GEA与所成角的正弦值.-第 4 页-参 考 答 案 例 1、（1）圆；（2）；（3）必要不充分；（4）2 例 2、（1）E、F、G、C 四点共面 LFLELG=+()()()()222223333322 33LFPFPLPNPKKNKMKHKMKHPMPKPHPKLELG=+=+=+=+得证（图见视频）（2）平行 证明：2 3PLPEPKPM=LEKM LE 面 ABCD 同理 EF面 ABCD 又 LEEF
5、E=面 ABCD 例 3、（1）证明：1 422(1)00AP AD=+=2(1)(1)2(4)(1)0AP AB=+=APADAPAB 又 ABADA=PA 面 ABCD（2）解：sinABCDSABADAB AD=又63cos21 2 5105AB ADAB ADAB AD=32 sin35AB AD=32 202135ABCDS=113262021163335P ABCDABCDVPA S=（3）()22(1)42(4)(1)(4)24(1)(1)48AB ADAP=+=是四棱锥体积的 3 倍 它的几何意义是以 AB、AD、AP 为过一个顶点的三条棱的平行六面体的体积 例 4、解：（1）
6、依题作点 E、G 在平面11DCC D 内的正投影1E、1G，则1E、1G 分别为1CC、1DD的中点，连结 EE1、1EG、ED、DE1，则所求为四棱锥11FGDEE 的体积，其底面11FGDE面积为111111EDGRtFGERtFGDESSS+=221212221=+=，又1EE面11FGDE，11=EE，323111111=EESVFGDEFGDEE.（2）以 D 为坐标原点，DA、DC、DD1 所在直线分别作 x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E、)1,0,0(1G，又)1,0,2(G，)2,1,0(F，)1,2,1(E，则)1,1,0(1=FG，)1,1,1(=FE，)1,1,0(1=FE，01)1(01=+=FEFG，01)1(011=+=FEFG，即FEFG 1，11FEFG，又1FEFEF=，1FG平面1FEE.（3）)0,2,0(11=GE，)1,2,1(=EA，则62,cos111111=EAGEEAGEEAGE，设异面直线11E GEA与所成角为，则33321sin=.