1、专题突破练24热点小专题三、圆锥曲线的离心率一、选择题1.(2020山东威海一模,8)已知点A,B分别在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左右两支上,且关于原点O对称,C的左焦点为F1,直线AF1与C的左支相交于另一点M,若|MF1|=|BF1|,且|BF1|AM|=0,则C的离心率为()A.10B.52C.5D.1022.(2020山东新高考质量测评联盟高三5月联考,8)已知直线y=3x与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)相交于不同的两点A和B,F为双曲线C的左焦点,且满足AFBF,则双曲线C的离心率为()A.3B.2C.3+1D.3+123.(2020山东聊城二模
2、,5)已知双曲线C:x2m-y2n=1,则nm0是双曲线C的离心率大于2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2019重庆巴蜀中学高三适应性月考(七)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为45的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P,Q,若OPQF2(O是坐标原点),则此双曲线的离心率等于()A.2B.5C.3D.105.(多选题)已知ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是()A.2-1B.22C.2D.2+16.(201
3、9山西长治学院附属太行中学高二下学期第二次月考)椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点,分别为F1,F2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,且两曲线在第一象限的公共点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432,则e2+e1e2-e1的值为()A.2B.3C.4D.67.(2019安徽芜湖高三模拟考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),直线y=x与椭圆相交于A,B两点,若椭圆上存在异于A,B两点的点P,使得kPAkPB-13,0,则离心率e的取值范围为()A.0,63B.63,1C.0,23D.23,18.(2019重庆第八中学高二下学期第二次月考)设F1,F2是双曲
4、线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,A是C的左顶点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PA|=2|PF2|,则C的离心率为()A.1+32B.1+22C.1+3D.1+29.(2019湖南长沙湖南师范大学附属中学高三模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为l,圆C:x2+(y-b)2=4与l交于第一象限内的A,B两点,若ACB=3,且|OB|=3|OA|(其中O为坐标原点),则双曲线的离心率为()A.2133B.133C.2135D.213二、填空题10.(2020全国,理15)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦
5、点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.11.(2020全国,文14)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为.12.(2019江苏南通高三下学期4月阶段测试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上有一个点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AFBF,当ABF=12时,椭圆的离心率为.13.(2019浙江湖州三校模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个顶点A(a,0),B(0,b),过A,B两点分别作AB的垂线交该椭圆于不同于顶点的C,D两点,若2|BD|=3|AC|,
6、则椭圆的离心率是.专题突破练24热点小专题三、圆锥曲线的离心率1.D解析连接MF2,BF2,AF2,设|MF1|=m,|AF1|=n,可得|BF1|=m,AF1BF1,可得四边形BF2AF1为矩形,由双曲线的定义可得|BF2|=m-2a,|MF2|=m+2a,即n=m-2a,可得m2+(m-2a)2=4c2,(m+m-2a)2+m2=(m+2a)2,解得m=3a,则有9a2+a2=4c2=4(a2+b2),化简可得ba=62,e=ca=1+b2a2=102.故选D.2.C解析由题意设A(x0,y0),B(-x0,-y0),F(-c,0),则x02a2-y02b2=1,因为AFBF,所以FAFB
7、=0,(x0+c)(-x0+c)+y0(-y0)=0,整理,得c2-x02=y02,因为AB在直线y=3x上,所以y0x0=3,由可得e4-8e2+4=0,解得e2=4+23,所以e=3+1.故选C.3.A解析因为双曲线C:x2m-y2n=1,若nm0,则a2=m,b2=n,c2=a2+b2=m+n,所以e=ca=m+nm2mm=2,故充分性成立;若mn2nn=2,故必要性不成立;故nm0是双曲线C的离心率大于2的充分不必要条件.故选A.4.D解析过F1且倾斜角为45的直线方程设为y=x+c,双曲线的渐近线方程为y=bax,由OPQF2,可得Q在第一象限,由y=x+c和y=bax,解得Qacb
8、-a,bcb-a,QF2的斜率为bcac-bc+ac=b2a-b,可得-ba=b2a-b,可得b=3a,则e=ca=1+b2a2=10.故选D.5.ABD解析因为ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,所以()若该圆锥曲线是椭圆,当C=2时,离心率e=2c2a=ABCA+CB=22,当C=4时,离心率e=ABCA+CB=12+1=2-1.()若该圆锥曲线是双曲线,根据双曲线的特征可得,只有C=4,此时,离心率e=2c2a=AB|CA-CB|=12-1=2+1.故选ABD.6.A解析因为F1,F2为椭圆C1与双曲线C2的公共焦点,且两曲线在第一象限的公
9、共点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432,所以椭圆C1的离心率为e1=|F1F2|PF1|+|PF2|=34+2=12,双曲线C2的离心率为e2=|F1F2|PF1|-|PF2|=34-2=32,因此,e2+e1e2-e1=32+1232-12=2.故选A.7.B解析设P(x0,y0),直线y=x过原点,由椭圆的对称性设A(x1,y1),B(-x1,-y1),kPAkPB=y0-y1x0-x1y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12.又x02a2+y02b2=1,x12a2+y12b2=1,两式作差,代入上式得kPAkPB=-b2a2-13,0,故0b2a213.所以e=1-b
10、2a263,1.故选B.8.A解析由题设知双曲线C:x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为l:y=bax.右焦点F(c,0),|PF2|=|bc-0|a2+b2=|bc-0|c=b.|OP|=a,Pa2c,abc.|PA|=(a2c+a)2+(abc)2=2|PF2|=2b,平方化简得(a2+ac)2+a2b2=4b2c2,又c2=a2+b2,a2(a+c)=(c-a)(4c2-a2),a+cc-a=4c2-a2a2,即e+1e-1=4e2-1,又0e1,故得e=1+32.故选A.9.D解析双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为y=bax,圆C:x2+(y-b)2=4的圆心
11、坐标为(0,b),半径为2,ACB=3,ABC是边长为2的等边三角形.AB=2,圆心到直线y=bax的距离为3.又|AB|=|OB|-|OA|=2|OA|,|OA|=1,|OB|=3.在OBC,OAC中,由余弦定理得cosBOC=cosAOC=32+b2-46b=b2+1-42b,解得b=7.由圆心到直线y=bax的距离为3,有aba2+b2=abc=3,e=ca=73=213.故选D.10.2解析由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=a2+b2.由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为Bc,b2a.AB的斜率为3,Bc,b2a.kAB=b2ac-a=b2a
12、(c-a)=c2-a2a(c-a)=c+aa=e+1=3,e=2.11.3解析由题意得ba=2,即b=2a.c2=a2+b2=3a2,即c=3a,e=ca=3.12.63解析设F1为椭圆的左焦点,连接AF1,BF1.由椭圆对称性及AFBF可知,四边形AFBF1为矩形,AB=FF1=2c.又ABF=12,AF=ABsin12=2csin12,AF1=BF=ABcos12=2ccos12,由椭圆定义可知:AF+AF1=2csin12+cos12=22csin3=2a,e=ca=222sin3=63.13.33解析过点A作出的AB的垂线的方程为y=ab(x-a),与x2a2+y2b2=1联立方程组解得xC=a(a4-b4)a4+b4,过点B作出的AB的垂线的方程为y=abx+b,与x2a2+y2b2=1联立方程组解得xD=-2a3b2a4+b4,2|BD|=3|AC|,2|xD-0|=3|xC-a|.4a3b2a4+b4=32ab4a4+b4.2a2=3b2=3a2-3c2,a2=3c2.e2=13,解得e=33.
