1、班级 座号 姓名 一、向量的概念：1向量定义：既有 又有 的量叫做向量。线段的长度叫向量的 ，记作 。2（1）单位向量：长度为 的向量叫单位向量，即；（2）零向量：长度为 的向量叫零向量，记作 ；（3）平行向量（共线向量）：方向 或 的非零向量叫平行向量（共线向量），记作：；（4）相等向量： 相等，方向 的向量叫相等向量。即：；（5）相反向量：与长度 ，方向 的向量，叫做的相反向量，记作。规定：零向量与任一向量平行，记作； 零向量与任一向量垂直二、向量的线性运算：1向量加法（减法）法则：画图表示： （1）三角形法则：（共线向量的加法也符合） （2）平行四边形法则 2.向量的数乘的定义：实数与向
2、量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：(1)|= ；(2) 当0时，的方向与的方向 ；当0时，的方向与的方向 ；当=0时，=，方向是 3.两个向量共线定理：向量与非零向量共线的等价条件是有且只有一个实数，使得=.特别的：4.平面向量基本定理：:，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 其中我们把不共线的向量，叫做表示这一平面所有向量的一组 。注：，均非零向量； ，不唯一 ，唯一；三、向量的数量积及坐标运算：1.平面向量的坐标运算：（1）若=，=，则= 。（2）若则 （3）若=，则= 。 2平面向量共线的坐标表示：若=，=， 3. 平面向量的数
3、量积的定义：向量的夹角：其取值范围是： 当且仅当两个非零向量同方向时， ，当且仅当反方向时 。与的数量积：记作 当与同向时， ；当与反向时， ，特别地，或； 4平面向量数量积的坐标表示、长度、夹角、垂直的坐标表示：若,，则= 模长： |= , ；夹角： ；两点间的距离公式：若，则 ；垂直的等价条件：，即 。（为非零向量）四、例题讲解例1、设、分别是的边、上的点，且，若记，试用，表示、。例2、 已知，且与夹角为120求； ； 与的夹角ABCD例3、如图，(1) 若,求与的关系式 (2) （2）若，且垂直,求与的值例4、已知O为坐标原点，点 （1）若 求（2）设函数,求函数的最小值及相应的的值综合
4、练习 一、选择题：1.已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 2 已知向量a，b满足，则（ ）A. 0 B. C. 4 D. 83. 若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为 （ ）A. 300 B. 600 C. 1200 D. 15004.已知向量，若向量满足，则（ ）A B C D 5设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（ ）A 8 B 4 C 2 D 16、在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则 （ ）A B C D7、如图，在ABC中，则=（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空题 8. 与向量平行的单位向量的坐标为 _。9.设，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 _ _。 10、已知，则的取值范围是 _ _。11、已知向量、不共线，且，则与的夹角为 _ _。12、在中， ，则下列推导正确的是_ _ 。 若则是钝角三角形 若，则是直角三角形 若， 则是等腰三角形 若，则是直角三角形 若，则ABC是正三角形三、解答题： 1、已知,（1）求的值； （2）求的夹角； （3）求的值；2、 已知=，= ，=，设是直线上一点，是坐标原点求使取最小值时的； 对（1）中的点，求的余弦值。3、已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值 （2）若，,求的值
