1、专题突破练4从审题中寻找解题思路一、单项选择题1.已知sin4-2x=35,则sin 4x的值为()A.1825B.1825C.725D.7252.(2020山东济南6月模拟,7)已知水平直线上的某质点,每次等可能的向左或向右移动一个单位长度,则在第6次移动后,该质点恰好回到初始位置的概率是()A.14B.516C.38D.123.已知ABC中,sin A+2sin Bcos C=0,3b=c,则tan A的值是()A.33B.233C.3D.4334.(2020天津河东区检测,8)已知实数a,b,ab0,则aba2+b2+a2b2+4的最大值为()A.16B.14C.17D.65.(2020
2、广东江门4月模拟,理12)四棱锥P-ABCD,AD平面PAB,BC平面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,APD=BPC,满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是()A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分6.(2020湖北高三期末,12)已知函数f(x)=|lnx|,0x2,f(4-x),2x4,若方程f(x)=m有四个不等实根x1,x2,x3,x4(x1x2x30,|0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且MF1MF2=0,双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,若F1
3、PF2=3,则正确的是()A.e2e1=2B.e1e2=32C.e12+e22=52D.e22-e12=110.(2020山东历城二中模拟四,12)已知函数f(x)=2sinx-6的图象的一条对称轴为x=,其中为常数,且(0,1),则以下结论正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为3B.将函数f(x)的图象向左平移6所得图象关于原点对称C.函数f(x)在区间-6,2上单调递增D.函数f(x)在区间(0,100)上有66个零点三、填空题11.若ABC的面积为34(a2+c2-b2),则B=.12.(2020天津河东区检测,15)函数f(x)=x,g(x)=x2-x+3,若存在x1,x2,xn0
4、,92,使得f(x1)+f(x2)+f(xn-1)+g(xn)=g(x1)+g(x2)+g(xn-1)+f(xn),nN*,则n的最大值为.四、解答题13.(2020山东青岛二模,19)已知数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,2Sn+n+1=an+12,nN*.(1)证明:当n2时,an+1=an+1;(2)若a4是a2与a8的等比中项,求数列2nan的前n项和Tn.专题突破练4从审题中寻找解题思路1.C解析由题意得cos2-4x=1-2sin24-2x=1-2925=725,sin4x=cos2-4x=725.故选C.2.B解析在经过6次移动后,该质点恰好回到初始位置,则每次都有向左或
5、者向右两种选择,共有26=64种可能;要回到初始位置,则只需6次中出现3次向左移动,3次向右移动,故满足题意的可能有C63=20种可能.故恰好回到初始位置的概率P=2064=516.故选B.3.A解析sinA+2sinBcosC=0,sin(B+C)+2sinBcosC=0.3sinBcosC+cosBsinC=0.cosB0,cosC0,3tanB=-tanC.3b=c,cb,CB.B为锐角,C为钝角.tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC=2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB223=33,当且仅当tanB=33时取等号.tanA的最大值是33
6、.故选A.4.A解析由于a2+b22ab0,所以aba2+b2+a2b2+4ab2ab+a2b2+4,故ab2ab+a2b2+4=12+ab+4ab12+2ab4ab=16,当且仅当a=b时,等号成立,故其最大值为16.5.B解析在平面PAB内,以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.设点P(x,y),则由题意可得A(-3,0),B(3,0).AD平面PAB,BC平面PAB,AD=4,BC=8,AB=6,APD=CPB,RtAPDRtCPB,APBP=ADBC=48=12.即BP2=4AP2,故有(x-3)2+y2=4(x+3)2+y2,整理得(x+5)2+y2=16,表
7、示一个圆.由于点P不能在直线AB上,故点P的轨迹是圆的一部分,故选B.6.C解析函数f(x)=|lnx|,0x2,f(4-x),2x4的图象如下图所示:当方程f(x)=m有四个不等实根x1,x2,x3,x4(x1x2x32x1x2=2,|ln(4-x3)|=|ln(4-x4)|,即(4-x3)(4-x4)=1,且x1+x2+x3+x4=8,若不等式kx3x4+x12+x22k+11恒成立,则k11-(x12+x22)x3x4-1恒成立,由11-(x12+x22)x3x4-1=11-(x1+x2)2+2x1x24(x3+x4)-16=13-(x1+x2)216-4(x1+x2)=14(x1+x2
8、)-4+3(x1+x2)-4+82-32,故k2-32,故实数k的最小值为2-32,故选C.7.ABD解析由ACAB=|AC|AB|cosA=|AD|AB|,由射影定理可得|AC|2=ACAB,故选项A正确;由BABC=|BA|BC|cosB=|BA|BD|,由射影定理可得|BC|2=BABC,故选项B正确;由ACCD=|AC|CD|cos(-ACD)0,故选项C错误;由题图可知RtACDRtABC,所以|AC|BC|=|AB|CD|,由选项A,B可得|CD|2=(ACAB)(BABC)|AB|2,故选项D正确.故选ABD.8.BD解析根据函数f(x)=Asin(2x+)A0,|2部分图象如图
9、所示,所以函数的周期为22=,即b-a=T2=2,故B正确.由图象知A=2,则f(x)=2sin(2x+),在区间a,b中的对称轴为x=a+b2,由f(x1)=f(x2)得,x1,x2也关于x=a+b2对称,则x1+x22=a+b2,即x1+x2=a+b,则f(a+b)=f(x1+x2)=3,故D正确,故选BD.9.BD解析因为MF1MF2=0,且|MF1|=|MF2|,故三角形MF1F2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c,则c=b=22a,所以e1=22.在焦点三角形PF1F2中,F1PF2=3,设|PF1|=x,|PF2|=y,双曲线C2的实半轴长为a,则x2+y2-xy=4c2,x+y
10、=22c,|x-y|=2a,故xy=43c2,从而(x-y)2=x2+y2-xy-xy=8c23,所以(a)2=2c23,即e2=62,故e2e1=3,e2e1=32,e12+e22=2,e22-e12=1.故选BD.10.AC解析由函数f(x)=2sinx-6的图象的一条对称轴为x=,得-6=k+2(kZ),因为(0,1),所以k=0,=23,则f(x)=2sin23x-6,所以周期T=223=3,A正确;将函数f(x)的图象向左平移6,得g(x)=fx+6=2sin23x+6-6=2sin23x-18,显然g(x)的图象不关于原点对称,B错误;由2k-223x-62k+2(kZ),即k=0
11、,得-2x,即-2,是函数f(x)的一个单调递增区间,又-6,2-2,所以函数f(x)在区间-6,2上单调递增,C正确;由f(x)=0,得23x-6=k(kZ),解得x=32k+6,由032k+6100,得-16k66.5,因为kZ,所以k=0,1,2,66,所以函数f(x)在区间(0,100)上有67个零点,D项错误.11.3解析由三角形面积公式可得,S=12acsinB=34(a2+c2-b2),14sinB=34a2+c2-b22ac=34cosB,tanB=3.B(0,),B=3.12.8解析函数f(x)=x,g(x)=x2-x+3.f(x1)+f(x2)+f(xn-1)+g(xn)=
12、g(x1)+g(x2)+g(xn-1)+f(xn),即为x1+x2+xn-1+xn2-xn+3=x12-x1+3+x22-x2+3+xn-12-xn-1+3+xn,化为xn2-2xn+3=x12-2x1+3+x22-2x2+3+xn-12-2xn-1+3,设h(x)=x2-2x+3,可得存在x1,x2,xn0,92,使得h(xn)=h(x1)+h(x2)+h(xn-1),故h(x)在x=1处取得最小值2,在x=92处取得最大值574,即有574h(xn)=h(x1)+h(x2)+h(xn-1)2(n-1),即为n658,可得n的最大值为8.13.解(1)因为2Sn+n+1=an+12,所以2S
13、n-1+n=an2(n2).两式相减得2an+1=an+12-an2(n2),所以an2+2an+1=an+12,即(an+1)2=an+12(n2).因为数列an的各项均为正数,所以当n2时,an+1=an+1.(2)由(1)得a4=a2+2,a8=a2+6,因为a4是a2与a8的等比中项,所以a42=a2a8,即(a2+2)2=a2(a2+6),解得a2=2.又2a1+2=a22,所以a1=1.所以a2-a1=1,从而an+1-an=1对nN*恒成立.所以数列an是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=n,所以2nan=n2n,所以Tn=12+222+(n-1)2n-1+n2n,2Tn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,两式相减得-Tn=2+22+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1=(1-n)2n+1-2,所以Tn=(n-1)2n+1+2.