1、第16课时函数与方程(2) 教学过程一、 问题情境对于方程lgx=3-x,要求出这个方程的解是较为困难的. 我们能否求出这个方程的近似解呢?让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究.例如,求方程x2-2x-1=0的实数根就是求函数f(x)=x2-2x-1的零点. 根据图象(如图1),我们发现f(2)0.这表明此函数图象在区间(2, 3)上有零点,即方程f(x)=0在区间(2, 3)上有实数根. 又因为在区间(2, 3)上函数f(x)是单调递增的,所以方程x2-2x-1=0在区间(2, 3)上有唯一实数根x1.(图1)二、 数学建构(一) 生成概念问题1如何进一步缩小方程x2-2x-1=0的实数根x
2、1的范围呢?解计算得f=0,发现x1(2, 2.5)(如图1),这样可以进一步缩小x1所在的区间.思考你能把x1限制在更小的区间内吗?解下面我们利用计算器来求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确到0.1). 设f(x)=x2-2x-1,先画出函数图象的简图(如图1).(图2)因为f(2)=-10,所以在区间(2, 3)内,方程x2-2x-1=0有一解,记为x1.取2与3的平均数2.5. 因为f(2.5)=0.250,所以2x12.5.再取2与2.5的平均数2.25. 因为f(2.25)=-0.43750,所以2.25x12.5.如此继续下去,得f(2)0x1(2, 3),f(2)0x1(2
3、, 2.5),f(2.25)0x1(2.25, 2.5),f(2.375)0x1(2.375, 2.5),f(2.375)0x1(2.375, 2.4375).因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,所以此方程的近似解为x12.4.利用同样的方法,还可以求出方程的另一个近似解.像上面这种求方程近似解的方法称为二分法,它是求一元方程近似解的常用方法.(二) 理解概念1. 运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间.2. 二分法是一种操作,其实是在不断地做同样的一个操作,渗透了算法的循环结构思想.(三) 巩固概念问题2二分法的一般操作流程是什么?解给定精度,用二分法求函数f(x)
4、零点的近似值的步骤如下:(1) 确定区间a, b,验证f(a)f(b)0,给定精度;(2) 求区间(a, b)的中点x1;(3) 计算f(x1): 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; 若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a, x1); 若f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1, b);(4) 判断是否达到精度:即若|a-b|,则得到零点值a(或b);否则重复步骤(2)(4).由函数的零点与相应方程的关系,我们可以用二分法来求方程的近似解.三、 数学运用【例1】(教材P94例1)利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解.(精确到0.1)(见学生用书课堂本P6
5、3)处理建议求方程lgx=3-x的解,可以转化为求函数f(x)=lgx+x-3的零点,故可以利用二分法求出题中方程的近似解.规范板书解分别画出函数y=lgx和y=3-x的图象(如图).在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现,方程lgx=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2, 3)内.设f(x)=lgx+x-3,利用计算器计算得f(2)0x1(2, 3), f(2.5)0x1(2.5, 3), f(2.5)0x1(2.5, 2.75), f(2.5)0x1(2.5, 2.625), f(2.5625
6、)0x1(2.5625, 2.625).(例1)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为x12.6.题后反思发现计算的结果约稳定在2.58717.根据精度要求,可以来确定是否要继续算中点的函数值.【例2】(教材P96例3)求方程2x+x=4的近似解.(精确到0.1)(见学生用书课堂本P64)处理建议首先利用函数y=2x与y=4-x的图象,估计出方程2x=4-x的解所在的区间.然后,运用二分法求出题中方程的近似解.规范板书解方程2x+x=4可以化为2x=4-x.分别画出函数y=2x与y=4-x的图象(如图).由图象可以知道,方程2x+x=4的解在区间(1,
7、 2)上.对于区间(1, 2),利用二分法就可以求得它的近似解为x1.4.(例2)题后反思二分法是一种操作性极强的操作方法,主要是掌握其思想方法,为以后的算法学习打下基础.【例3】(教材P95例2)作出函数y=x3与y=3x-1的图象,并写出方程x3=3x-1的近似解.(精确到0.1)(见学生用书课堂本P64)处理建议本题其实就是求函数y=x3和y=3x-1图象交点的横坐标.(例3)规范板书解作出函数y=x3与y=3x-1的图象(如图).在两个函数图象的交点处,函数值相等. 因此,这3个交点的横坐标就是方程x3=3x-1的解.由图象可以知道,方程x3=3x-1的解分别在区间(-2, -1),(
8、0, 1)和(1, 2)上. 那么,对于区间(-2, -1), (0, 1)和(1, 2)分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x1-1.9, x20.3, x31.5.题后反思函数的图象必须精确地画出,这样才能从图象上观察出解所在的大致区间,进而进行二分法的操作.*【例4】已知函数f(x)=ax+(a1).(1) 求证:f(x)在(-1, +)上为单调增函数.(2) 若a=3,求方程f(x)=0的正根.(精确度为0.1)规范板书证明(1) 任取x1, x2(-1, +),且x10, a1, 1,且0. -=(-1)0.又 x1+10, x2+10, -=0.于是f(x2)-f(x1
9、)=-+-0,即f(x2)f(x1).故f(x)在(-1, +)上为单调增函数.(2) 由(1)知,当a=3时,f(x)=3x+在(-1, +)上为单调增函数,故在(0, +)上单调递增.因此方程f(x)=0的正根仅有一个.由于f(0)=-10, 取(0, 1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:区间中点中点函数值(0, 1)0.50.732(0, 0.5)0.25-0.084(0.25, 0.5)0.3750.322(0.25, 0.375)0.31250.124由于|0.3125-0.25|=0.06250.1, 原方程的近似解可取为0.3125.题后反思求函数零点的近似值时,由于所选
10、的初始区间不同,最后得到的结果可能不同,只要它们符合所给定的精确度,就是正确的.用二分法求方程的近似解可按下面的口诀进行记忆:“函数连续值两端,相乘为负有零点,区间之内有一数,方程成立很显然;要求方程近似解,先看零点的区间,每次区间分为二,先后两端近零点.”四、 课堂练习1. 设x0是方程lnx=-x+4的解,则x0所在的区间为(2, 3).(取两个相邻整数之间)2. 估算方程5x2-7x-1=0的正根所在的区间是(1, 2).(取两个相邻整数之间)3. 估算方程3x2-7x-11=0的负根所在的区间是(-2, -1).(取两个相邻整数之间)4. 利用计算器,求方程lg3x=-x+2的近似解.(精确到0.1)提示 x1.4.五、 课堂小结本节课学习了用二分法求方程的近似解,它体现了函数的零点与方程的根之间的关系,让学生进一步理解了函数与方程的思想.