1、1周期变化学 习 目 标核 心 素 养1.了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(难点)2初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点、重点)1.通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养2借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养.1周期函数的概念一般地，对于函数yf(x)，xD，如果存在一个非零常数T，使得对任意的xD，都有xTD且满足f(xT)f(x)，那么函数yf(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数yf(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数yf(x)的最小正周期思考：1.为什么规定T非零？提示：T若
2、为零，则任意函数都是周期函数2常函数f(x)c，xR是周期函数吗？若是，其周期是什么？提示：是周期函数，其周期是任意非零实数1下列变化中，不是周期现象的是()A“春去春又回”B钟表的分针的运行C天干地支表示年、月、日的时间顺序D某同学每天上学的时间D由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化故选D2探索如图所呈现的规律，判断2 019至2 020箭头的方向是()ABCDC观察题图可知0到4为一个周期，则从2 019到2 020对应着3到4.3某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了_个周期1040.410，所以经过了10个周期4已知函数f是定义在R上的偶函
3、数，且对于任意的 xR都有fff，f(1)4，求ff的值解由题意可知fff，令x2，可求得f0，又函数f是定义在R上的偶函数，所以f0，即ff，所以f是以4为周期的周期函数，又f4，所以fffff04.周期现象【例1】水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？思路点拨由于水车每隔5分钟转一圈，所以要计算1小时内最多盛水多少升，关键是确定1小时内水车转多少圈解因为1小时60分钟125分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水1610160(升)，所以水车
4、1小时内最多盛水160121 920(升)1周期现象的判断首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断2收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观的发现函数的周期性1利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水1610160(升)，所以y16032x，为使水车盛800升的水，则有32x800，所以x25，即水车盛800升的水至少需要25分钟周期函数探究问题1若存在非零常数a，使函数f在定义域上满足：ff，则f是周期函数吗？若是，其周期是什么？提示：由已知得，fff，根据周期函数的定义
5、，f是以2a为一个周期的周期函数2若存在非零常数a，使函数f在定义域上满足：f，则f是周期函数吗？若是，其周期是什么？提示：由已知得，ff，根据周期函数的定义，f是以2a为一个周期的周期函数【例2】已知函数f满足ff13，求证：f是周期函数证明由已知得f，所以ff.所以f是周期函数，4是它的一个周期判定一个函数是周期函数需分两步(1)先猜想出其周期；(2)用周期函数的定义证之.2已知函数f满足f，求证：f是周期函数证明由已知得，f.所以ff.所以f是周期函数，4是它的一个周期周期函数的应用【例3】设f是(，)上的奇函数，ff，当0x1时，fx.(1)求f的值；(2)当4x4时，求f的图象与x轴
6、所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f的单调递增(或减)区间思路点拨 第(1)问先求函数f的周期，再求f；第(2)问，推断函数yf的图象关于直线x1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，观察图象写出解 (1)由ff，得fff，所以f是以4为周期的周期函数，ffff4.(2)由f是奇函数与ff，得fff，即ff.故知函数yf的图象关于直线x1对称又0x1时，fx，且f的图象关于原点成中心对称，则f的图象如图所示当4x4时，f的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4S OAB44.(3)函数f的单调递增区间为4k1,4k1(kZ)，单调递减区间为4k1,4k3(kZ)1已知f是R
7、上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，fx3x，则函数yf的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()A6B7C8 D9B当0x2时，令fx3x0，得x0或x1或x1(舍去)，又f的最小正周期为2，f(0)f(2)f(4)f(6)0，f(1)f(3)f(5)0，yf的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.2已知f是定义在R上的奇函数，且满足ff，则f(2)()A0B1C2D3A由题意，f为周期函数且周期为4，f(2)f(24)f(2)，又f(2)f(2)，则f(2) f(2)，所以f(2)0.研究周期函数时，通常先研究其在一个周期上的性质，然后把它拓展到定义域上，这样可简化对函数的研究.
8、1应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的2只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)任何周期函数都有最小正周期()(2)若T是奇函数f的一个周期，则f0()(3)若T是函数f的一个周期，则nT也是函数f的一个周期()答案(1)(2)(3)2.设f是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1上的图象，则f()A1B0C1D2A由于f是定义在R上的周期为3的周期函数，所以fff，而由图象可知f(1)1，所以f1.3一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力
9、，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s，第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间可能是_s.1.4质点从O点向左运动，OM用了0.3 s，MAM用了0.2 s，由于MO与OM用时相同，因此质点运动半周期0.20.320.8(s)，从而当质点第三次经过M时用时应为MOBOM，所用时间为0.320.81.4(s)4设函数f是定义在R上的奇函数，x，ff.(1)证明yf是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值解(1)由ff，知fffff，所以yf是周期函数，且T3是其一个周期(2)因为f为定义在R上的奇函数，所以f0，且f(1)f(1)2，又T3是yf的一个周期，所以ffff202.
