1、第5讲数学归纳法基础知识整合1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值n0时命题成立，这一步是为归纳奠基(2)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，这一步是归纳递推完成这两个步骤，就可以断定命题对一切nN*，nn0，命题成立2数学归纳法的框图表示数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，当nk1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”1用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nN*)”，在
2、验证n1时，左端计算所得的结果是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案C解析当n1时，左边1aa2.故选C.2已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设nk(k2且为偶数)时命题为真，则还需证明()Ank1时命题成立Bnk2时命题成立Cn2k2时命题成立Dn2(k2)时命题成立答案B解析因n是正偶数，故只需证命题对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k2，故选B.3在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A1 B2 C3 D0答案C解析凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取3.4数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，
3、a4后，猜想an的表达式是()A3n2 Bn2 C3n1 D4n3答案B解析计算出a11，a24，a39，a416.可猜想ann2.5用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真答案2k1解析n为正奇数，假设n2k1成立后，需证明的应为n2k1时成立6用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)(nN*)的第二步中，当nk1时等式左边与nk时的等式左边的差等于_答案3k2解析nk1比nk时左边变化的项为(2k1)(2k2)(k1)3k2.核心考向突破考向一数学归纳法证明恒等式例1用数学归纳法证明：(nN*)证明(1)
4、当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立触类旁通利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明nk1时要用上nk时的假设，其次要明确nk1时证明的目标，充分考虑由nk到nk1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同中间的计算过程千万不能省略即时训练1.求证：1(nN*)证明(1)当n1时，左边1，右边.左边右边(2)假设nk时等式成立，即1，则当nk1时，1.即当nk1时，等式也成立综合(1)(2)
5、可知对一切nN*，等式成立考向二数学归纳法证明不等式例2求证：(n2，nN*)证明(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设nk(k2，kN*)时命题成立，即.当nk1时，.当nk1时不等式也成立原不等式对一切n2，nN*均成立触类旁通用数学归纳法证明不等式的两种形式用数学归纳法证明与n(nN*)有关的不等式，一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，第二种形式往往要先对n取前几个值分别验证比较，然后猜出从某个n值开始都成立的结论即时训练2.用数学归纳法证明：(nN*)证明(1)当n1时，显然不等式成立当n2时，左边，右边.由12，得，即n
6、2时，不等式也成立(2)假设nk(k2)时，不等式成立，即.当nk1时，两边同加，得，只需证(1)，对k2成立，即当nk1时，不等式成立由(1)(2)知，不等式对nN*都成立考向三归纳猜想证明例3(2019杭州模拟)设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解(1)依题意有解得a13，a25，a37.(2)猜测an2n1.由Sn2nan13n24n，得Sn12(n1)an3(n1)24(n1)(n2)，两式相减，整理得an2nan12(n1)an6n1，an1an，建立an与an1的递推关系(nN*)；
7、因为当n1时，a13，假设nk时成立，即ak2k1成立，那么nk1时，ak1ak(2k1)2k32(k1)1，综上对于nN*，有an2n1，所以数列an的通项公式为an2n1.触类旁通 “归纳猜想证明”的一般步骤(1)计算(根据条件，计算若干项)(3)证明(用数学归纳法证明).这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳猜想出结论.即时训练3.已知数列an的前n项和Sn满足Sn1且an0，nN*.求a1，a2，a3，猜想an的通项公式并证明解当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(1)当n1,2,3时，通项公式成立(2)假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由ak1Sk1Sk，将ak代入上式并整理，得a2ak120.解得ak1(an0)即当nk1时，通项公式也成立由(1)和(2)，可知对所有nN*，an都成立
