1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 六十四分类加法计数原理与分步乘法计数原理30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.用4种不同的颜色填涂如表所示的1,2,3,4,5五个区域,要求一区一色,邻区异色,则不同的填涂方法种数是()A.120B.96C.72D.48【解析】选B.先涂区域1有4种方法,区域2有3种涂色方法,区域3有2种涂色方法,区域4有2种涂色方法,区域5有2种涂色方法,根据分步乘法计数原理,得到共有43222=96(种).2.(2020玉林模拟)从集合1,2,3,10中
2、任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为()A.3B.4C.6D.8【解析】选D.当公比为2时,等比数列可为1,2,4或2,4,8;当公比为3时,等比数列可为1,3,9;当公比为时,等比数列可为4,6,9.同理,公比为,时,也有4个.故共有8个等比数列.3.某公司新招进8名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门,另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门,则不同的分配方案种数是()A.18B.24C.36D.72【解题指南】甲部门要2名电脑编程人员和1名翻译人员;甲部门要1名电脑编程人员和1名翻译人员.分别求得这2种方案的方法数,再利用
3、分类加法计数原理,可得结论.【解析】选C.由题意可得,有2种分配方案:甲部门要2名电脑编程人员,则有3种情况;翻译人员的分配有2种可能;再从剩下的3个人中选一人,有3种方法.根据分步乘法计数原理,共有323=18种分配方案.甲部门要1名电脑编程人员,则方法有3种;翻译人员的分配方法有2种;再从剩下的3个人中选2个人,方法有3种,共323=18种分配方案.由分类加法计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36种.4.(2020遵义模拟)将1,2,3,9这9个数字填在如图所示的空格中,要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为()34A.6种B
4、.12种C.18种D.24种【解析】选A.根据数字的大小关系可知,1,2,9的位置是固定的,如图所示,则剩余12D34ACB95,6,7,8这4个数字,而8只能放在A或B处,若8放在B处,则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C处,剩余两个位置固定,此时共有3种方法.同理,若8放在A处,也有3种方法,所以共有6种方法.5.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与一个正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不染色),要求每面染一色,且相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有()A.6种B.12种C.18种D.24种【解析】选B.先涂三棱锥
5、P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面,当棱锥颜色确定后,棱柱对应有2种情形,即共有3212=12种不同的染色方案.二、填空题(每小题5分,共15分)6.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是_.【解析】另两边长用x,y表示,且不妨设1xy11,要构成三角形,必须x+y12.当y取11时,x可取1,2,3,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,10,有9个三角形;当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.答案:367.用红、黄、蓝三种颜色去涂表中标号为1,2,9的9个小正方形(如表),使得任意
6、相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有_种.123456789【解析】把区域分为三部分,第一部分1,5,9,有3种涂法.第二部分4,7,8,当5,7同色时,4,8各有2种涂法,共4种涂法;当5,7异色时,7有2种涂法,4,8均只有1种涂法,故第二部分共4+2=6种涂法.第三部分与第二部分一样,共6种涂法.由分步乘法计数原理,可得共有366=108种涂法.答案:1088.如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有_种(用数字作答).【解析】从A开始涂色,A有6种涂色方法
7、,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法,D有4种涂色方法.由分步乘法计数原理可知,共有6544=480(种)涂色方法.答案:480三、解答题(每小题10分,共20分)9.有一项活动需在3名老师,6名男同学和8名女同学中选人参加.(1)若只需一人参加,有多少种不同选法?(2)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同选法?(3)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同选法?【解析】(1)只需一人参加,可按老师、男同学、女同学分三类各自有3,6,8种方法,总方法数为3+6+8=17种.(2)分两步,先选老师共3种选法,再选学生共6+8=14种选法,由分步乘法计数原理知,总方法数为314=42种
8、.(3)老师、男同学、女同学各一人可分三步,每步方法依次为3,6,8种.由分步乘法计数原理知总方法数为368=144种.10.已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,若a,b,cM,则:(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数.(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.【解析】(1)a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示566=180(个)不同的二次函数.(2)y=ax2+bx+c的图象开口向上时,a的取值有2种情况,b,c的取值均有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示266=72(个)图象开口向
9、上的二次函数.20分钟40分1.(5分)我国古代数学名著续古摘奇算法(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入33的方格中,使得每一行、每一列及对角线上的三个数的和都相等(如表所示),我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是()834159672A.9B.8C.6D.4【解析】选B.三阶幻方,是最简单的幻方.将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入,其中有8种排法4 9 2,3 5 7,8 1 6;2 7 6,9 5 1,4 3 8;2 9 4,7 5 3,6 1 8;4
10、3 8,9 5 1,2 7 6; 8 1 6,3 5 7,4 9 2;6 1 8,7 5 3,2 9 4; 6 7 2,1 5 9,8 3 4;8 3 4,1 5 9,6 7 2.2.(5分)某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花()A.3 360元B.6 720元C.4 320元D.8 640元【解题指南】根据题意,依次计算“01至10中三个连号的个数”、“11至20中两个连号的个数”、“21至30中单选
11、号的个数”、“31至36中单选号的个数”,进而由分步乘法计数原理计算可得答案.【解析】选D.从01至10中选3个连续的号共有8种选法;从11至20中选2个连续的号共有9种选法;从21至30中选1个号有10种选法;从31至36中选一个号有6种选法,由分步乘法计数原理知共有89106=4 320(种)选法,至少需花4 3202=8 640(元).3.(5分)已知集合A=(x,y)|x2+y21,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定义集合AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则AB中元素的个数为()A.77B
12、.49C.45D.30【解析】选C.A=(x,y)|x2+y21,x,yZ=(x,y)|x=1,y=0;或x=0,y=1;或x=0,y=0,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ=(x,y)|x=-2,-1,0,1,2;y=-2,-1,0,1,2,AB表示点集.由x1=-1,0,1,x2=-2,-1,0,1,2,得x1+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,共7种取值可能.同理,由y1=-1,0,1,y2=-2,-1,0,1,2,得y1+y2=-3,-2,-1,0,1,2,3,共7种取值可能.当x1+x2=-3或3时,y1+y2可以为-2,-1,0,1,2中的一个值,
13、分别构成5个不同的点,当x1+x2=-2,-1,0,1,2时,y1+y2可以为-3,-2,-1,0,1,2,3中的一个值,分别构成7个不同的点,故AB共有25+57=45(个)元素.4.(5分)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“良数”.例如:32是“良数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生进位现象.那么小于1 000的“良数”的个数为()A.27B.36C.39D.48【解析】选D.一位数的“良数”有0,1,2,共3个;两位数的“良数”十位数可以是1,2,3,两位数的“良数”有10,1
14、1,12,20,21,22,30,31,32,共9个;三位数的“良数”百位为1,2,3,十位为0时,个位可以是0,1,2,共33=9个,百位为1,2,3,十位不是零时,十位个位可以是两位“良数”,共有39=27个.根据分类加法计数原理,共有48个小于1 000的“良数”.5.(10分)从-3,-2,-1,0,1,2,3中任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2+bx+c(a0)的系数.设抛物线过原点,且顶点在第一象限.这样的抛物线共有多少条?【解析】抛物线y=ax2+bx+c过原点,且顶点在第一象限,a,b,c应满足即分三步,a可以取-3,-2,-1;b可以取1,2,3;c取0.所以满足条件的
15、抛物线的条数为N=331=9.6.(10分)如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求共有多少种不同的染色方法.【解析】可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥S -ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有543=60(种)染色方法.当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7
16、种染法,故不同的染色方法有607=420(种).【变式备选】将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入图中的五个区域内,要求相邻的两个区域的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法?【解析】A区域有4种不同的涂色方法,B区域有3种,C区域有2种,D区域有2种,但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色,如果B与D颜色相同,则有2种涂色方法,如果不相同,则只有一种.因此应先分类后分步.当B与D同色时,有43212=48(种);当B与D不同色时,有43211=24(种).故共有48+24=72(种)不同的涂色方法.【误区警示】本题若按A,B,E,D,C顺序涂色,在最后给区域C涂色时,就应考虑A与E,B与D是否同色这两种情况.关闭Word文档返回原板块