1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 五十九圆锥曲线的综合问题30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020桂林模拟)若曲线C:x2-x-y+1=0(R)恒过定点P,则点P的坐标是()A.(0,1)B.(-1,1)C.(1,0)D.(1,1)【解析】选D.由原曲线方程可得(x-1)+(y-x2)=0过定点,则求得即定点P的坐标为(1,1).2.(2020毕节模拟)已知P为双曲线C:-=1上的点,点M满足|=1,且=0,则当|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A.B.
2、C.4D.5【解析】选B.由=0,得OMPM,根据勾股定理,求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值,当|OP|取得最小值时,点P的位置为双曲线的顶点(3,0),而双曲线的渐近线为4x3y=0,所以所求的距离d=.3.过抛物线x2=4y的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则+=()A.2B.4C.D.【解析】选D.根据题意,抛物线的焦点为(0,1),设直线AB的方程为y=kx+1(k0),直线CD的方程为y=-x+1,由得y2-(2+4k2)y+1=0,由根与系数的关系得yA+yB=2+4k2,所以|AB|=yA+yB+2=4+4k2,同理|CD|=yC+yD+2=4+,所以+=+=.4
3、.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1,F2,P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点,设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,且=,若F1PF2=,则双曲线C2的渐近线方程为()A.xy=0B.xy=0C.xy=0D.x2y=0【解析】选C.设椭圆C1:+=1(ab0),双曲线C2:-=1(m0,n0),依题意c1=c2=c,且=,所以=,则a=3m,由圆锥曲线定义,得|PF1|+|PF2|=2a,且|PF1|-|PF2|=2m,所以|PF1|=4m,|PF2|=2m.在F1PF2中,由余弦定理,得:4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos=12
4、m2,所以c2=3m2,则n2=c2-m2=2m2,因此双曲线C2的渐近线方程为y=x,即xy=0.5.已知抛物线y2=2px(p0)与直线ax+y-4=0相交于A,B两点,其中A点的坐标是(1,2).如果抛物线的焦点为F,那么|FA|+|FB|等于()A.5B.6C.3D.7【解析】选D.把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y2=2px与直线方程ax+y-4=0,得p=2,a=2,由消去y,得x2-5x+4=0,则xA+xB=5.由抛物线定义得|FA|+|FB|=xA+xB+p=7.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线x2=8y上有一条长为10的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短
5、距离为_.【解析】由题意知,抛物线的准线l:y=-2,过点A作AA1l交l于点A1,过点B作BB1l交l于点B1,设弦AB的中点为M,过点M作MM1l交l于点M1,则|MM1|=,因为|AB|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|10.所以|AA1|+|BB1|10,2|MM1|10,即|MM1|5.故点M到x轴的距离d3.故AB的中点到x轴的最短距离为3.答案:37.(2020宜宾模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A,B两点.如果=-4,则直线l必过定点_.【解析】设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,
6、设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4b,所以=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.令b2-4b=-4,所以b2-4b+4=0,所以b=2,所以直线l过定点(2,0).答案:(2,0)8.已知双曲线C:-y2=1(a0)与l:x+y=1相交于两个不同的点A,B,与y轴交于点P,若=,则a=_.【解析】因为双曲线C与直线l相交于两个不同的点,故知方程组有两组不同的实数解,消去y并整理,得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,实数a应满足解得0
7、a0.又A,B在直线PQ两侧的动点,所以-4t2.所以x1+x2=-t,x1x2=t2-12,又P(2,3),Q(2,-3)所以S四边形APBQ=6|x1-x2|=3=3(-4t0,b0),F是双曲线C的右焦点,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D,E,则双曲线C的离心率e的取值范围为()A.(,)B.(,+)C.(,2)D.【解析】选B.方法一:由题意知,直线l:y=-(x-c),由得x2+x-=0,由x1x2=a4,所以b2=c2-a2a2,所以e22,得e.方法二:由题意,知直线l的斜率为-,若l与双曲线左、右两支分别交于D,E两点,则-,
8、即a2b2,所以a22,得e.2.(5分)(2020玉溪模拟)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.C.D.【解析】选C.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1+x2=-t,x1x2=.|AB|=|x1-x2|=,当t=0时,|AB|max=.3.(5分)已知F1,F2是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=x对称,则该双曲线的离心率为_.【解析】由题意可知双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=对称,则
9、PF1PF2.又=,联立|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|2+|PF1|2=(2c)2,可得b3+a2b=2c2a.所以b=2a,e=.答案:4.(5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB的倾斜角的正弦值为_.【解析】由题意知F(1,0),当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1)(k0),由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x10,x20,则x1+x2=,x1x2=1,+=+=1.当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2,故+=1.设|AF|
10、=a,|BF|=b,则+=1,所以|AF|+4|BF|=a+4b=(a+4b)=5+9,当且仅当a=2b时取等号,故a+4b的最小值为9,此时直线的斜率存在,且x1+1=2(x2+1),联立得,x1=2,x2=,k=2,故直线AB的倾斜角的正弦值为.答案:5.(10分) (2019贵阳模拟)已知两点F1(-1,0)及F2(1,0),点P在以F1,F2为焦点的椭圆C上,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程.(2)如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1Ml,F2Nl,求四边形F1MNF2的面积S的最大值.【解析】 (1)由椭圆定义可得
11、2a=|PF1|+|PF2|=4.即a=2,又c=1,b=,则椭圆方程为+=1.(2)将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.由直线l与椭圆C仅有一个公共点知,=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得:m2=4k2+3.设d1=|F1M|=,d2=|F2N|=,当k0时,设直线l的倾斜角为,则|d1-d2|=|MN|tan |,所以|MN|=,S=(d1+d2)=,因为m2=4k2+3,所以当k0时,|m|,|m|+,S0),点P的横坐标为xP,则直线l的方程为y=k(x+2).又椭圆C:+y2=1,由得,(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0,所以-2xP=,xP=,因为AP=PQ,所以xP=-1,即=-1,解得k=(负值舍),所以直线l的斜率为.(2)设点N的横坐标为xN.结合(1)知,直线MN的方程为y=kx.由得,=,所以=,即证.关闭Word文档返回原板块