1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 五十七抛物线30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.x=-3D.x=-4【解析】选D.因为抛物线y2=2px的焦点(,0)在2x+3y-8=0上,所以p=8,所以抛物线的准线方程为x=-4.2.已知点A(0,2),抛物线C1:y2=ax(a0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N.若|FM|MN|=1,则a的值为(
2、)A.B.C.1D.4【解析】选D.依题意,点F的坐标为,设点M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,|KM|MN|=1,则|KN|KM|=21.因为kFN=-,kFN=-=-2,所以=2,解得a=4.3.(2020毕节模拟)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于()A.1B.2C.4D.8【解析】选A.由抛物线的定义,可得|AF|=x0+,因为|AF|=x0,所以x0+=x0,所以x0=1.4.(2020遵义模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于(
3、)A.-4B.4C.p2D.-p2【解析】选A.若焦点弦ABx轴,则x1=x2=,所以x1x2=;所以y1y2=-p2,所以=-4.若焦点弦AB不垂直于x轴,可设AB的直线方程为y=k,联立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+=0,则x1x2=.所以y1y2=-p2.故=-4.5.抛物线y2=8x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又已知点A(-2,0),则的取值范围是()A.3,+) B.(1,2C.1,4 D.1,【解析】选D.由抛物线定义得|PF|=x+2,又|PA|=,所以=.当x=0时,=1;当x0时,=,当且仅当x=,即x=2时取等号.因为x+2=4,所以=,综上
4、所述,的取值范围是1,.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019北京高考)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为_.【解析】由已知,2p=4,=1,所以焦点F(1,0),准线l为x=-1,所求圆半径为2,方程为(x-1)2+y2=4.答案:(x-1)2+y2=47.(2020泸州模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,直线l的斜率是,O为坐标原点,若AOB的面积为,则p=_.【解析】根据抛物线定义易知直线AB的方程为y=,将直线方程与抛物线方程联立得:6y2-5py-6p2=0,设A(x1,y1)B(x2
5、,y2),则S=|y1-y2|=,|y1-y2|=p,所以p=p=.答案:8.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线l与抛物线分别交于两点A,B,若点M满足=,过M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则M点的横坐标为_.【解析】抛物线y2=4x 的焦点F,由题意知,直线AB的斜率存在.设A,B,M,P,直线AB 方程为y=k,所以,所以ky2-4y-4k=0, 所以y1+y2=,所以y0=,因为 = 4x,所以x=,因为|PF|=2,所以x=1,k2=1,所以x0=+1=3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,已知抛物线y2=2px(p0)有一个内接直角三角形,
6、直角顶点在原点,两直角边OA与OB的长分别为1和8,求抛物线的方程.【解析】设直线OA的方程为y=kx,k0,则直线OB的方程为y=-x,由得x=0或x=.所以A点坐标为,同理得B点坐标为(2pk2,-2pk),由|OA|=1,|OB|=8,可得 得k6=64,即k2=4.则p2=.又p0,则p=,故所求抛物线方程为y2=x.10.(2020曲靖模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点.求证:(1)y1y2=-p2,x1x2=.(2)+为定值.(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【证明】(1)由已知得抛物线的焦点坐标
7、为.由题意可设直线方程为x=my+,代入y2=2px,得y2=2p,即y2-2pmy-p2=0.(*)则y1,y2是方程(*)的两个实数根,所以y1y2=-p2.因为=2px1,=2px2,所以=4p2x1x2,所以x1x2=.(2)+=+=.因为x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,得+=(定值).(3)设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,则|MN|=(|AC|+|BD|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.20分钟40分1.(5分)(2019石家庄模拟)直线3x-4y+4=0与
8、抛物线x2=4y和圆x2+(y-1)2=1从左到右的交点依次为A,B,C,D,则的值为()A.16B.C.4D.【解析】选B.由得x2-3x-4=0,所以xA=-1,yA=,xD=4,yD=4,直线3x-4y+4=0恰过抛物线的焦点F(0,1),且该圆圆心为F(0,1),所以|AF|=yA+1=,|DF|=yD+1=5,所以=.2.(5分)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,MFO的面积为4,则抛物线的方程为()A.y2=6xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=【解析】选B.设M(x,y),因为|OF|=,|MF|=4|OF|,所以
9、|MF|=2p,由抛物线定义知x+=2p,所以x=p,所以y=p,又MFO的面积为4,所以p=4,解得p=4(p=-4舍去).所以抛物线的方程为y2=8x.3.(5分)如果P1,P2,Pn是抛物线C:y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+xn=10,则|P1F|+|P2F|+|PnF|=()A.n+10B.n+20C.2n+10D.2n+20【解析】选A.由抛物线的方程y2=4x可知其焦点为(1,0),准线为x=-1,由抛物线的定义可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,|PnF|=xn+1,所以|P1F|+|P2F|+|PnF|=x1
10、+1+x2+1+xn+1=(x1+x2+xn)+n=n+10.4.(5分)一个顶点在原点,另外两点在抛物线y2=2x上的正三角形的面积为_.【解析】如图,根据抛物线的对称性得AOx=30.直线OA的方程y=x,代入y2=2x,得x2-6x=0,解得x=0或x=6.即得A的坐标为(6,2).所以|AB|=4,正三角形OAB的面积为46=12.答案:125.(10分)(2020成都模拟)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上相异两点,且满足x1+x2=2.(1)若AB的中垂线经过点P(0,2),求直线AB的方程.(2)若AB不垂直于x轴且AB的中垂线交x轴于点M,求AMB面积
11、的最大值及此时直线AB的方程.【解析】(1)当AB垂直于x轴时,显然不符合题意,所以可设直线AB的方程为y=kx+b,代入方程y2=4x得:k2x2+(2kb-4)x+b2=0,所以x1+x2=2,得:b=-k.所以直线AB的方程为y=k(x-1)+,因为AB中点的横坐标为1,所以AB中点的坐标为,所以AB的中垂线方程为y=-(x-1)+=-x+,因为AB的中垂线经过点P(0,2),故=2,得k=,所以直线AB的方程为y=x-.(2)由(1)可知AB的中垂线方程为y=-x+,所以M点的坐标为(3,0).因为直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0,所以M到直线AB的距离d=,由得y2-ky+
12、2-k2=0,所以y1+y2=,y1y2=,|AB|=|y1-y2|=,所以SAMB=4.设=t,则0t0)的焦点分别为F1,F2,点P(-1,-1),且F1F2OP(O为坐标原点).(1)求抛物线C2的方程.(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M,交C2的左半部分于点N,求PMN面积的最小值.【解析】(1)由题意知F1(1,0),F2,所以=,因为F1F2OP,所以=(-1,-1)=1-=0,所以p=2,所以抛物线C2的方程为x2=4y.(2)设过点O的直线为y=kx(k0),联立得M,联立得N(4k,4k2),从而|MN|=,又点P到直线MN的距离d=,进而SPMN=2=2,令t=k+(t-2),则有SPMN=2(t-2)(t+1),当t=-2时,此时k=-1,SPMN取得最小值.即当过点O的直线为y=-x时,PMN面积的最小值为8.关闭Word文档返回原板块
