1、A组基础达标（时间：30分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲5，7，9一、 选择题（每小题5分，共25分） 1.函数f（x）x33x1在3，0上的最大值、最小值分别为（A）A. 3，17 B. 1，17 C. 3，1 D. 1，1 解析： f（x）3x23，令f（x）0，解得x1或x1， f（3）17， f（1）3， f（1）1， f（0）1.比较可得 f（x）maxf（1）3， f（x）minf（3）17.2. （2014大连模拟）已知f（x）x2cos x，x1，1，则导函数f（x）是（D）A. 仅有最小值的奇函数B. 既有最大值，又有最小值的偶函数C. 仅有最大值的偶函数D. 既有最大
2、值，又有最小值的奇函数解析： f（x）xsin x，显然f（x）是奇函数，令h（x）f（x），则h（x）xsin x，求导得h（x）1cos x.当x1，1时，h（x）0，h（x）在1，1上单调递增，有最大值和最小值.f（x）是既有最大值又有最小值的奇函数. 3.（2013汕头期末）函数f（x）x33axa在（0，1）内有最小值，则a的取值范围为（B）A. 0，1） B. （0，1） C. （1，1） D. 解析： y3x23a，令y0，可得ax2.又函数在（0，1）内有最小值，0a1.4. （2014广州质检）做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位
3、面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为（C）A. B. C. D. 解析： 设圆柱的底面半径为R，高为h，则VR2h.设造价为 y2R2a2Rhb2aR22Rb2aR2，y4aR.令y0，得.5. 已知函数f（x）x3ax24在x2处取得极值，若m，n1，1，则f（m）f（n）的最小值是（A）A. 13 B. 15 C. 10 D. 15解析： 求导得f（x）3x22ax，由函数f（x）在x2处取得极值知f（2）0，即342a20，a3.由此可得 f（x）x33x24， f（x）3x26x，易知f（x）在（1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，当m1，1时， f（m）m
4、inf（0）4.又 f（x）3x26x的图像开口向下，且对称轴为直线x1，当n1，1时， f（n）minf（1）9.故f（m）f（n）的最小值为13.二、 填空题（每小题5分，共15分）6. （2014北京西城模拟）已知f（x）2x36x23，对任意的 x2，2都有f（x）a，则a的取值范围为3，）.解析： 由f（x）6x212x0，得x0或x2.又f（2）37， f（0）3， f（2）5，f（x）max3.又f（x）a，a3. 7.（2014南京模拟）若a3，则方程x3ax210在（0，2）上恰有1个实根.解析： 设f（x）x3ax21，则f（x）3x22axx（3x2a），由于a3，则在（
5、0，2）上f（x）0， f（x）为单调减函数，而 f（0）10， f（2）94a0，则方程x3ax210在（0，2）上恰有1个实根. 8.设某商品的需求函数为Q1005P，其中Q，P分别表示需求量和价格，若商品需求弹性大于1（其中P，Q是Q的导数），则商品价格P的取值范围是（10，20）.解析： 由Q1005P，得Q5，由P知1，由Q0，得P20，P10，综上，P的取值范围为（10，20）.三、 解答题（共10分）9. 已知a是实数，函数f（x）x2（xa）.（1）若f（1）3，求a的值及曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求f（x）在区间0，2上的最大值.解析： （1）f（x
6、）3x22ax.f（1）32a3，a0.（1分）又当a0时，f（1）1，f（1）3，切点坐标为（1，1），斜率为3.（2分）曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程为y13（x1），化简得3xy20.（4分）（2）令f（x）0，解得x10，x2.（5分）当0，即a0时，f（x）在0，2上单调递增，从而f（x）maxf（2）84a.当2，即a3时，f（x）在0，2上单调递减，从而f（x）maxf（0）0.当02，即0a3时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，从而f（x）max综上所述，f（x）max（10分） B组提优演练（时间：30分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲4，7，8一、 选择
7、题（每小题5分，共20分）1. （2014广州调研）若函数f（x）x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（A）A. （2，2） B. 2，2C. （，1） D. （1，）解析： 由于函数f（x）是连续的，故只需两个极值异号即可.f（x）3x23，令3x230，则x1，只需f（1）f（1）0，即（a2）（a2）0，故a（2，2）.2. （2014金华模拟）用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（B）A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 1
8、2 cm解析： 设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为 V cm3，由题意，得Vx（482x）2（0x24），V12（24x）（8x）.令V0，则在（0，24）内有x8.故当x8时，V有最大值.3. （2013海口模拟）已知函数f（x）x3bx2cxd，在区间1，2上是减函数，那么bc（B）A. 有最大值 B. 有最大值C. 有最小值 D. 有最小值解析： 由f（x）在1，2上是减函数知， f（x）3x22bxc0在x1，2时恒成立，则相加得152b2c0，bc. 4.（2013荆州模拟）设直线xt与函数f（x）x2，g（x）ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的
9、值为（D）A. 1 B. C. D. 解析： |MN|f（t）g（t） t2ln t（t0），令h（t）t2ln t（t0），则h（t）2t，令h（t）0，得t，令h（t）0得0t，h（t）在上单调递减，在上单调递增.当t时，h（t）取最小值，即t时，|MN|取最小值，故选D.二、 填空题（每小题5分，共15分）5. （2014湖州模拟）设函数f（x）ax33x1（xR），若对于任意x1，1，都有f（x）0成立，则实数a的值为4.解析： 若x0，则不论a取何值， f（x）0显然成立；当x0，即x（0，1时， f（x）ax33x10可化为a.设g（x），则g（x），g（x）在区间上单调递增，在区
10、间上单调递减，因此 g（x）maxg4，从而a4.当x0，即x1，0）时，同理a.g（x）在区间1，0）上单调递增，g（x）ming（1）4，从而a4，综上可知a4.6. 已知|a|2|b|0，且关于x的函数f（x）x3|a|x2abx在R上有极值，则a与b的夹角范围为.解析： f（x）x2|a|xab，f（x）0的|a|24ab0，cosa，b，又ycos 在（0，）上是递减的，a，b.7. 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S，则S的最小值是.解析： 设剪成的小正三角形的边长为x，则S（0x1）.S（x），S（x）.令S（x）0，又0x1，x，当x
11、时，S（x）0， S（x）递减；当x时，S（x）0， S（x）递增.故当 x时，S取得最小值.三、 解答题（共15分）8. 已知函数f（x）ln x.（1）若a0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（2）若f（x）在1，e上的最小值为，求a的值；（3）若f（x）x2在（1，）上恒成立，求a的取值范围.解析： （1）由题意知f（x）的定义域为（0，），且f（x）.a0，f（x）0，故f（x）在（0，）上是单调增函数.（3分）（2）由（1）可知， f（x）. （4分）若a1，则xa0，即f（x）0在1，e上恒成立，此时f（x）在1，e上为增函数，f（x）minf（1）a，a（舍去）.（6分）若ae
12、，则xa0，即f（x）0在1，e上恒成立，此时f（x）在1，e上为减函数，f（x）minf（e）1，a（舍去）.（8分）若ea1，令f（x）0得xa，当1xa时， f（x）0，f（x）在（1，a）上为减函数；当axe时， f（x）0，f（x）在（a，e）上为增函数，f（x）minf（a）ln（a）1，a. 综上所述，a.（10分）（3）f（x）x2，ln xx2.又x0，axln xx3.（11分）令g（x）xln xx3，h（x）g（x）1ln x3x2，h（x）6x.x（1，）时，h（x）0，h（x）在（1，）上是减函数.h（x）h（1）20，即g（x）0，JY（13分）g（x）在（1，）上也是减函数.g（x）g（1）1，当a1时，f（x）x2在（1，）上恒成立.
