1、11.3三个正数的算术几何平均不等式1会用三项的平均值不等式证明一些简单问题2能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题1三个正数的算术几何平均不等式(1)如果a1，a2，a3R，则叫做这3个正数的算术平均数，叫做这三个正数的_答案: 几何平均数(2)三个正数基本不等式：.当且仅当a1a2a3时，等号成立语言表述：三个正数的_平均数不小于它们的_平均数答案: 算术几何思考1若已知a13，a29，a327，则_，_则有：_.答案: 1392n个正数的算术几何平均不等式(1)如果a1，a2，anR，n1且nN*，则叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的_答案:
2、 几何平均数(2)基本不等式：(nN*，aiR，1in)当且仅当a1a2an时等号成立语言表述：n个正数的_平均数不小于它们的_平均数答案: 算术几何思考2若x0，则_4.答案: 1函数yx2(15x)的最大值是()A4 B. C. D.答案: C2若x0，则4x的最小值是()A9 B3 C13 D不存在答案: B3已知a.b.cR，则_答案: 94设a，bR，且ab3，则ab2的最大值是_答案: 45若实数x，y满足xy0，且x2y2，则xyx2的最小值是()A1 B2 C3 D4答案: C6设ab0，则a2的最小值是()A1 B2 C3 D4解析：把a2变形为aba(ab)，即可利用三个正
3、数的算术几何平均不等式求其最小值ab0，a2a2abababa(ab)224，当且仅当即a，b时，取“”号故选D.7若数列an的通项公式是an，则该数列中的最大项是()来源:Z#xx#k.ComA第4项 B第6项C第7项 D第8项解析：ann2348，当且仅当n2，即n4时，等号成立，an，该数列的最大项是第4项故选A.答案：A8求函数y3x(x0)的最值是_来源:学科网ZXXK解析：x0，y3x33.当且仅当，即x时取符号当x时，函数y的最小值为3.9已知正数a，b满足ab21，则ab的最小值是_解析：因为a，b是正数，ab21，所以aba3.故ab的最小值是，当且仅当即时取到最小值10已知
4、a，b，c为正数，求证：(abc)(a2b2c2)9abc.证明：a，b，c为正数，abc3，a2b2c23(abc)(a2b2c2)339.(abc)(a2b2c2)9abc，当且仅当abc时等号成立来源:学.科.网Z.X.X.K11为锐角，则ysin cos2的最大值是_分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sin2cos21的应用解析：y2sin2cos2cos2 2sin2(1sin2)(1sin2) ()3.当且仅当2sin21sin2，即sin 时取等号ymax.12已知xR，有不等式x2，x3，受此启发，可以推广为x n1，则a_解析：x,sdo4(n个
5、)(n1)n1，ann.答案：nn13已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c26，并确定a，b，c为何值时，等号成立证明：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以9(abc).故a2b2c23(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立故当且仅当abc3时，原不等式等号成立14请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如下图所示)试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少
6、？分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，然后利用算术几何平均不等式求最值，也可求导求最值解析：设OO1为x m，则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为，于是底面正六边形的面积为6()2(82xx2)，帐篷的体积为来源:Zxxk.ComV(x)(82xx2) (4x)(x2)(x2) (82x)(x2)(x2) 64 16.当且仅当82xx2，即x2时取等号故当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2 m时帐篷的体积最大，其值为16 m2.1三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件来源:学_科_网Z_X_X_K(1)“一正”：不论是三个数的或者n个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的，如abc3，取ab2，c2时abc2，而36，显然26不成立(2)“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1a2an为定值)，求其积a1a2an的最大值；二是已知积a1a2an为定值，求其和a1a2an的最小值(3)“三相等”：取“”的条件是a1a2an，不能只是一部分相等2重要不等式a2b22ab与a3b3c33abc的运用条件不一样，前者a，bR，后者a，b，cR，要注意区别3注意算术几何平均不等式中的变形与拼凑方法