1、第9节圆锥曲线的综合问题最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，即消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则：0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离.(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一
2、个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.常用结论与微点提醒1.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上
3、一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线xtya与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|y1y2|.()解析(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时
4、，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.答案(1)(2)(3)(4)2.直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A.相交 B.相切C.相离 D.不确定解析直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.答案A3.(教材习题改编)已知与向量v(1，0)平行的直线l与双曲线y21相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_.解析由题意可设直线l的方程为ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|AB|x1x2|4，所以|AB|44，即当m0时，|AB|有最小值4
5、.答案44.过抛物线y2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2等于_.解析易知抛物线y2x2的焦点为，设过焦点的直线的斜率为k，则其方程为ykx，由得2x2kx0，故x1x2.答案5.已知F1，F2是椭圆16x225y21 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1PF2，则F1PF2的面积为_.解析由题意可得|PF1|PF2|2a20，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2144(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2022|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|128，所以F1PF2的面积为|PF1|PF2|12864.答案64第1课时
6、直线与圆锥曲线考点一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1，0)，且点P(0，1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程.解(1)椭圆C1的左焦点为F1(1，0)，c1，又点P(0，1)在曲线C1上，1，得b1，则a2b2c22，所以椭圆C1的方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由消去y，得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得2k2
7、m210.由消去y，得k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择题、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】 若直线mxny4与圆O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A.至多一个 B.2C.1 D.0解析直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，2，m2n24，1
8、m2b0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为2，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形的面积为2.(1)求椭圆D的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆D和圆C：(x2)2(y2)24所截得的弦长分别为m，n，当mn最大时，求直线l的方程.解(1)设F1的坐标为(c，0)，F2的坐标为(c，0)(c0)，则直线AB的方程为y(xc)，即xyc0，2，解得c2.2a2b2，ab，又a2b2c2，a25，b21，椭圆D的方程为y21.(2)由题意知，可设直线l的方程为xty2，则圆心C到直线l的距离d，n2，由得(t25)y24ty10，设直线l与椭圆D的交点坐
9、标为(x1，y1)，(x2，y2)，y1y2，y1y2，m|y1y2|，mn2，直线l的方程为xy20或xy20.规律方法弦长的三种常用计算方法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题.(2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长.(3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的.【训练2】 (2018郑州一模)已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|_.解析直线l的方程为yx1，由得y214y1
10、0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y214，|AB|y1y2p14216.答案16考点三中点弦问题(多维探究)命题角度1利用中点弦确定直线或曲线的方程【例31】 (1)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(一题多解)已知P(1，1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_.解析(1)因为直线AB过点F(3，0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横
11、坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3.(2)法一易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，此弦的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y整理得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x22，2，解得k.故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.法二易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，此弦的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.答案(1)D(2)x2y30命题角度2利用中点弦解决对
12、称问题【例32】 若抛物线y2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2，则实数m的值为_.解析由题意可设直线AB的方程为yxb，代入y2x2得2x2xb0，x1x2，x1x2，b1，即直线AB的方程为yx1.设AB的中点为M(x0，y0)，则x0，代入y0x01，得y0，则M，又M在直线yxm上，m，m.答案规律方法处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得
13、到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用.【训练3】 若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y3x7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为_.解析因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，则a2b24，所以可设椭圆方程为1，由消去x，整理得(10b24)y214(b24)y9b413b21960，设直线y3x7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，由一元二次方程根与系数的关系得：y1y22.解得：b28.所以
14、a212.则椭圆方程为1.答案1基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.直线yx3与双曲线1(a0，b0)的交点个数是()A.1 B.2 C.1或2 D.0解析由直线yx3与双曲线1的渐近线yx平行，故直线与双曲线的交点个数是1.答案A2.已知双曲线C：1(a0，b0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是()A.2xy0 B.x2y0C.xy0 D.xy0解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，由得，结合题意化简得1，即，所以双曲线C的渐近线方程为x2y0.答案B3.抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离为()A.
15、B.C.2 D.解析设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d，x时， dmin.答案B4.经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则等于()A.3 B.C.或3 D.解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.答案B5.(2018太原一模)已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为，则|AB|()A.6 B.8 C.12 D
16、.16解析由题意知抛物线y24x的焦点F的坐标为(1，0)，易知当直线AB垂直于x轴时，AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，与y24x联立，消去x得ky24y4k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2，y1y24，所以|y1y2|，所以AOB的面积为1，解得k，所以|AB|y1y2|6，故选A.答案A二、填空题6.(2018赣州调研)在直角坐标系xOy中，有一定点M(1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x22py(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_.解析易知直线OM的方程为y2x，则线段OM的垂直平分线的方程为2x4y50，把焦点
17、坐标代入2x4y50可求得p，从而得到准线方程为y.答案y7.(2018龙岩二模)已知椭圆C：1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为_.解析由题意得解得椭圆C的方程为1.答案18.(2018福建四地六校模拟)过椭圆1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_.解析设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A，B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3).即3x4y130.答案3x4y130三、解答题9.设F1，F2分别是椭圆E
18、：1(ab0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程.解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，整理得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0
19、，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.10.如图，已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).解由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M，由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，则x1x2，y1y2，(1)将AB中点M代入直线方程ymx解得b，由得m或m.故实数m的取值范围为.(2)令t，则|AB|，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)
20、|AB|d .当且仅当t2时，等号成立.故AOB面积的最大值为.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018河北百校联考)已知抛物线y24x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，3 ，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则ABG的面积为()A. B. C. D.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为3，所以y13y2，设直线l的方程为xmy1，由消去x得y24my40，y1y24，y1y24m，m，x1x2，AB的中点坐标为，过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y，令y0，可得x，所以SABG.答案C12.已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为
21、F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_.解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a2，由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即3，可求得b23，即b.答案13.(2018海口调研)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，其离心率e，点M为椭圆上的一个动点，MAB面积的最大值是2.(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当0时，求点P的坐标.解(1)由题意可知解得a2，b，所以椭圆方程为1.(2)由(1)知B(2，0)，设直线BD的方程为yk(x2)，D(x1，y1)，把yk(x2)代入椭圆方程1，整理得(34k2)x216k2x16k2120，所以2x1x1，则D，所以BD中点的坐标为，则直线BD的垂直平分线方程为y，得P.又0，即0，化简得064k428k2360，解得k.故P或.