1、第三节基本不等式1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)；(5) (a0，b0)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)注：(1)
2、此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.(2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)当a0，b0时，.()(2)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(3)x0且y0是2的充要条件()(4)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题1设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81 D82答案：C2设0ab，则下列不等式中正确的是()Aab BabCab D.ab解析：选B因为0ab，所以a(
3、)0，故a；b0，故b；由基本不等式知，综上所述，ab，故选B.3函数f(x)x的值域为()A2,2 B2，)C(，22，) DR解析：选C当x0时，x2 2.当x0时，x0.x2 2.所以x2.所以f(x)x的值域为(，22，)4若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_答案：25若x1，则x的最小值为_解析：xx11415.当且仅当x1，即x3时等号成立答案：5(一)拼凑法利用基本不等式求最值例1(1)已知0x1，则x(43x)取得最大值时x的值为_(2)已知x，则f(x)4x2的最大值为_(3)函数y(x1)的最小值为_解析(1)x(43x)(3x)(43x)2，当且仅当3x43x
4、，即x时，取等号故所求x的值为.(2)因为x，所以54x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，取等号故f(x)4x2的最大值为1.(3)y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，取等号答案(1)(2)1(3)22通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键(二)常数代换法利用基本不等式求最值例2已知a0，b0，ab1，则的最小值为_解析因为ab1，所以(ab)222 224.当且仅当ab时，取等号答案41(
5、变条件)将条件“ab1”改为“a2b3”，则的最小值为_解析：因为a2b3，所以ab1.所以12 1.当且仅当ab时，取等号答案：12(变设问)保持本例条件不变，则的最小值为_解析：52549.当且仅当ab时，取等号答案：9通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值(三)消元法利用基本不等式求最值例3已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_解析法一(换元消元法)：由已知得x3y9xy，因为x0，
6、y0，所以x3y2，所以3xy2，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号，即(x3y)212(x3y)1080.令x3yt，则t0且t212t1080，得t6，即x3y的最小值为6.法二(代入消元法)：由x3yxy9，得x，所以x3y3y3(1y)62 61266.即x3y的最小值为6.答案6通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值 (四)利用两次基本不等式求最值例4已知ab0，那么a2的最小值为_解析由ab0，得ab0，b(ab)2.a2a22 4，当且仅当bab且a2
7、，即a，b时取等号a2的最小值为4.答案4两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性 过关训练1(2019常州调研)若实数x满足x4，则函数f(x)x的最小值为_解析：x4，x40，f(x)xx442 42，当且仅当x4，即x1时取等号故函数f(x)x的最小值为2.答案：22若正数x，y满足x26xy10，则x2y的最小值是_解析：因为正数x，y满足x26xy10，所以y.由即解得0x1.所以x2yx2 ，当且仅当，即x，y时取等号故x2y的最小值为.答案：典例精析某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该
8、产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3(k为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解(1)由题意知，当m0时，x1(万件)，所以13kk2，所以x3，每件产品的销售价格为1.5(元)，所以2019年的利润y1.5x816xm29(m0)(2)因为
9、m0时，(m1)28，所以y82921，当且仅当m1m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元解题技法利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解过关训练1若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10x)m，由题知0x10，则面积Sx(10x)225，当且仅当x
10、10x，即x5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.答案：25 2(2019孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为y(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x50,80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675，当x65时，y有最小值，为6759，当x80,120时，函数y12单调递减，故当x120时，y有最小值，为10，因为910，所以
11、该型号汽车的速度为65 km/h时，每小时耗油量最低(2)设总耗油量为l，由题意可知ly，当x50,80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值，最小值为16.当x80,120时，ly2为减函数，故当x120时，l取得最小值，最小值为10，因为1016，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少典例精析(1)已知直线axbyc10(b0，c0)经过圆C：x2y22y50的圆心，则的最小值是()A9 B8 C4 D2(2)设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是_解析(1)把圆x2y22y50化成标准方程为x2(y1)26，所以圆心为C(0,1)因为直线
12、axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.又b0，c0，因此(bc)52 59.当且仅当b2c，且bc1，即b，c时，取得最小值9.(2)由题意ana1(n1)dn，Sn，所以，当且仅当n4时取等号所以的最小值是.答案(1)A(2)解题技法利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围过关训练1已知函数f(x)x2的值域为(，04，)，则a的值是()A.B.C1 D2解析：选C由题意可得a0，当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号，所以解得a1，故选C.2已知向量a(m,1)，b(4n,2)，m0，n0，若ab，则的最小值为_解析：ab，4n2m0，即2mn4.m0，n0，(n2m)，当且仅当4mn时取等号的最小值是.答案：