1、第2课时反证法核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P42P43的内容，回答下列问题著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”王戎的论述运用了什么推理思想？提示：反证法思想2归纳总结，核心必记(1)反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的
2、证明方法叫做反证法(2)反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等问题思考(1)反证法解题的实质是什么？提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证明原命题结论正确(2)用反证法证明命题时，“a、b、c都是偶数”的否定是什么？提示：a、b、c不都是偶数课前反思(1)反证法的定义是什么？(2)反证法常见的矛盾类型有哪些？知识点1用反证法证明“否定性”命题讲一讲1已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负实根尝试解答假设方程f(x)0有负实根x0，则x00且x01且ax0，由0ax0101，解
3、得x02，这与x00矛盾故方程f(x)0没有负实根 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法(2)用反证法证明数学命题的步骤练一练1设a，b，c，dR，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.证明：假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20，所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾故假设不成立，所以a2b2c2d2abcd1.知识点2用反证
4、法证明“至多”、“至少”型命题讲一讲2已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数解尝试解答假设三个方程都没有实数解，则三个方程的判别式都小于0，即 a1，这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解证明时常见的“结论词”与“反设词”结论词至少有一个至多有一个对所有x成立对任意x不成立至少有n个至多有n个p或q綈p且綈q反设词一个也没有至少有两个存在某个x0不成立存在某个x0成立至多有n1个至少有n1个p且q綈p或綈q练一练2已知函数yf(x)在区间(a，b)上是增函数求证：函数yf(x)在区间(a，b)上至多
5、有一个零点证明：假设函数yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1x2)为函数yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)f(x2)0.因为函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2(a，b)且x1x2，f(x1)f(x2)，与f(x1)f(x2)0矛盾，假设不成立，故原命题正确.知识点3用反证法证明“唯一性”命题讲一讲3已知：一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直尝试解答根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明(1)如图，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平
6、面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 (2)如图，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点A只能有平面的一条垂线证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另
7、外一个”两层意思证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性练一练3若函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断开，且f(a)0，f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点证明：由于f(x)在a，b上的图象连续不断开，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即0180，这与三角形内角
8、和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_答案：3等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：(1)设公差为d，由已知得解得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0.又p，q，rN*，所以所以2pr.(pr)20，所以pr，这与pr矛
9、盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列题组2用反证法证明“至多”、“至少”型命题4用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是()A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至少有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60解析：选B“至少有一个”即“全部中最少有一个”5设实数a、b、c满足abc1，则a、b、c中至少有一个数不小于_解析：假设a、b、c都小于，则abc1与abc1矛盾故a、b、c中至少有一个不小于.答案：6若x，y，z均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，则a，b，c中是否至少有一个大于0？请说明理由解：是假设a，
10、b，c都不大于0，即a0，b0，c0，则abc0.而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)23，因为30，且无论x，y，z为何实数，(x1)2(y1)2(z1)20，所以abc0.这与假设abc0矛盾因此，a，b，c中至少有一个大于0.题组3用反证法证明“唯一性”命题7用反证法证明命题“关于x的方程axb(a0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程axb(a0)()A无解B有两解C至少有两解D无解或至少有两解解析：选D“唯一”的否定上“至少两解或无解”8“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数
11、Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数9求证：两条相交直线有且只有一个交点证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点能力提升综合练1用反证法证明命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()Aa
12、，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除Da，b有1个不能被5整除解析：选B用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确2有以下结论：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2.故的假设是错误的，而的假设是正确的3设a、b、c都是正数，则三个数a，b，c()A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2解析：选D因为a、b、c都是正数，则有6.故三个数中至少有一个不小于2.4已知数列an，bn的通项公式分别为anan2，bnbn1(a，b是常数)，且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项
13、的个数有()A0个 B1个C2个 D无穷多个解析：选A假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得anbn，由题意ab，nN*，则恒有anbn，从而an2bn1恒成立，不存在n使得anbn.5已知平面平面直线a，直线b，直线c，baA，ca，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_解析：空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，应假设b与c平行或相交答案：b与c平行或相交6完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是1,2，7的一个排列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则_均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.这与0为偶数矛盾，说
14、明p为偶数解析：证明过程应为：假设p为奇数，则有a11，a22，a77均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.这与0为偶数矛盾，说明p为偶数答案：a11，a22，a77(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)7求证方程2x3有且只有一个根证明：因为2x3，所以xlog23，这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的：假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则2b13,2b23，两式相除得2b1b21.若b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾若b1b20，则2b1b21，这也与2b1b21相矛盾所以b1b20，则b1b2.所以假设不成立，从而原命题得证8用反证法证明：对于直线l：yxk，不存在这样的非零实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A、B关于直线yx对称证明：假设存在非零实数k，使得A、B关于直线yx对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB的中点M在直线yx上，由得2x22kx1k20.x1x2k，可得M.这与M在直线yx上矛盾所以假设不成立，故不存在非零实数k，使得A、B关于直线yx对称